执行完劳动仲裁的义务后，结案的方式主要取决于仲裁裁决的执行情况和双方当事人的后续行为，以下是详细说明：
一、自动结案情况
义务履行完毕：
- 如果被执行人（即用人单位或劳动者，根据裁决内容而定）已经按照劳动仲裁裁决的要求，全面履行了其义务，如支付了拖欠的工资、经济补偿金、赔偿金等，或者完成了其他裁决要求的行为，那么该劳动仲裁案件即视为执行完毕，可以自动结案。
- 在此情况下，通常不需要双方当事人再向仲裁机构或法院提交任何结案申请或证明，仲裁机构或法院在确认义务履行完毕后，会自行将案件标记为已结案。
双方达成和解并履行：
- 在执行过程中，如果双方当事人自愿达成和解协议，并且被执行人已经按照和解协议的内容履行了其义务，那么该劳动仲裁案件也可以视为执行完毕并结案。
- 和解协议应当明确双方的权利和义务，以及履行期限和方式等，以确保和解协议的有效性和可执行性。
二、需要申请结案的情况
申请执行结案证明：
- 虽然义务履行完毕或达成和解并履行后，案件可以视为执行完毕，但为了获得正式的结案证明，以便在后续可能出现的纠纷中作为证据使用，双方当事人可以向仲裁机构或法院申请出具结案证明。
- 申请结案证明时，通常需要提交相关的执行文件、和解协议（如有）、履行证明等材料，以证明案件已经执行完毕。
法院裁定终结执行：
- 在某些特殊情况下，如被执行人确实无财产可供执行，或者执行标的物已经灭失等，法院可能会裁定终结执行。
- 终结执行后，该劳动仲裁案件即视为结案，但需要注意的是，终结执行并不意味着被执行人的义务被免除，如果未来发现被执行人有可供执行的财产，申请执行人仍然可以申请恢复执行。
三、结案后的注意事项
保留相关证据：
- 无论案件是如何结案的，双方当事人都应当保留好与案件相关的所有证据和文件，以备不时之需。
关注后续动态：
- 如果案件涉及长期履行义务（如分期支付赔偿金等），双方当事人应当密切关注对方的履行情况，并在对方未履行或未完全履行时及时采取法律措施。
遵守法律法规：
- 结案后，双方当事人应当继续遵守相关的法律法规和劳动合同约定，避免再次出现劳动纠纷。
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