第三人清偿原则下，第三人能否行使抵押权需分情况讨论，具体如下：
若第三人代为清偿债务后，取得债权人对债务人的债权：
- 根据《民法典》的相关规定，第三人代为履行债务后，若债务人同意或法律有特别规定，第三人可以取得债权人对债务人的债权。在此情况下，若原债权设有抵押担保，且抵押权已依法设立并有效，第三人作为新的债权人，有权行使原债权项下的抵押权。这是因为抵押权作为从权利，通常随主债权的转移而转移，第三人作为新的债权人，自然享有与原债权人相同的权利，包括抵押权。
若第三人代为清偿债务，但并未取得债权人对债务人的债权：
- 在这种情况下，第三人仅是履行了债务人的债务，但并未成为新的债权人。因此，第三人无权直接行使原债权项下的抵押权。抵押权是债权人对特定财产享有的优先受偿权，其行使主体通常是债权人或其合法继承人、受让人。第三人若未取得债权，则不具备行使抵押权的法律基础。
特殊情形下的第三人抵押权行使：
- 存在某些特殊情形，如第三人与债务人、债权人三方约定，第三人代为清偿债务后，债务人将抵押物转让给第三人或为第三人设定新的抵押权。在此情况下，第三人可依据约定行使新的抵押权。这种情形下，第三人行使抵押权的依据是新的抵押合同或约定，而非原债权项下的抵押权。
法律建议：
- 对于第三人而言，在代为清偿债务前，应明确与债务人、债权人之间的权利义务关系，特别是关于抵押权的行使问题。若希望取得抵押权，应确保在清偿债务的同时或之后，通过合法方式取得债权人对债务人的债权或与债务人、债权人达成新的抵押约定。
- 对于债权人而言，在接受第三人代为清偿债务时，应明确告知第三人关于抵押权的情况，并协助第三人办理相关手续，以确保抵押权的顺利转移或设定。
可能法律后果：
- 若第三人未依法取得抵押权而擅自行使，可能构成对债务人或原债权人财产权的侵害，需承担相应的法律责任。
- 若债权人未履行告知义务或协助义务，导致第三人无法行使抵押权，可能需对第三人承担违约责任或赔偿责任。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。