结论：公司在特定情形下辞退员工可以不用支付工资及经济补偿，但这些情形必须严格符合法律法规的规定。以下是对这些情形的详细阐述：
试用期间不符合录用条件
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在招聘时需明确具体的录用条件，并在试用期内对员工进行客观考核和评估。若员工被证明不符合录用条件，用人单位可解除劳动合同，且在此情况下，通常视为员工未完全履行劳动合同义务，公司无需支付全额工资（但需支付试用期内的实际工作天数对应的工资）及经济补偿。
- 案例解析：如某科技公司招聘软件工程师，明确要求熟练掌握特定编程语言。员工小张试用期内经实践检验不符要求，公司依据考核记录辞退小张，只需支付小张试用期内的实际工作天数对应的工资，无需支付经济补偿。
严重违反规章制度
- 法律依据：用人单位的规章制度需内容合法、程序合法（经民主程序制定且向劳动者公示）。员工若严重违反，用人单位可解除合同，且无需支付工资及经济补偿的情况通常限于员工的行为构成严重违纪且给公司造成重大损失或影响，但工资仍需支付至解除合同之日。不过，若规章制度中明确规定了严重违纪可扣除部分或全部工资作为惩罚（且该规定不违反法律法规的强制性规定），则公司可按规章制度执行。但一般情况下，严重违纪主要导致的是解除合同而无经济补偿，工资仍需支付。
- 案例解析：某工厂规定严禁在工作区域吸烟，并已公示。员工小李违规吸烟引发安全隐患，工厂依规辞退小李，需支付小李工作期间的工资，但无需支付经济补偿。若工厂规章制度中规定此类行为可扣除当月部分奖金或绩效工资，且该规定合法，则工厂可按此执行。
严重失职、营私舞弊
- 法律依据：员工在工作中严重失职或营私舞弊，给用人单位造成重大损害，用人单位可解除劳动合同。在此情况下，公司需支付员工工作期间的工资，但无需支付经济补偿。若因员工的失职或舞弊行为给公司造成了经济损失，公司还可根据法律规定或合同约定要求员工赔偿。
- 案例解析：某公司财务人员小王因疏忽导致财务数据泄露，给公司造成重大损失，公司辞退小王时需支付其工作期间的工资，但无需支付经济补偿。若公司能证明损失是由小王的失职行为直接导致的，还可要求小王赔偿部分或全部损失。
被依法追究刑事责任
- 法律依据：员工因犯罪被人民法院判处刑罚，用人单位可解除劳动合同。在此情况下，公司需支付员工工作期间的工资至解除合同之日，但无需支付经济补偿。
- 案例解析：员工小孙因盗窃罪被判有期徒刑，其所在公司得知后解除与小孙的合同，需支付小孙工作期间的工资，但无需支付经济补偿。
以欺诈等手段使合同无效
- 法律依据：员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危，使用人单位违背真实意思订立或变更劳动合同，用人单位可解除合同。在此情况下，公司需支付员工实际工作期间的工资，但无需支付经济补偿。
- 案例解析：员工小陈伪造高级管理工作经历应聘，企业发现后解除与小陈的合同，需支付小陈实际工作期间的工资，但无需支付经济补偿。
注意事项：
- 公司在辞退员工时，必须有合法依据和充分证据，否则可能构成违法辞退，需支付赔偿金（赔偿金标准为经济补偿标准的二倍）。经济补偿按劳动者在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年按一年计算；不满六个月支付半个月工资。
- 工资是员工提供劳动后应得的报酬，除非有法律法规明确规定的情形（如员工严重违纪且规章制度中有合法扣除规定），否则公司不得随意扣除或拒付工资。
总结：公司在特定情形下辞退员工可以不用支付经济补偿，但工资通常仍需支付至解除合同之日（除非有合法扣除规定）。为确保辞退行为合法合规，建议公司在处理员工辞退事宜时务必谨慎行事，并咨询专业法律意见。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。