结论概述：在遭到辱骂后打架双方都受伤的情况下，首先需明确的是，双方可能均需承担一定的法律责任，具体责任划分需依据各自行为的过错程度、损害后果等因素综合判断。以下将从法律责任、赔偿问题、处理流程三个角度进行详细分析。
一、法律责任分析
辱骂方的责任：
- 辱骂行为若构成侮辱或诽谤，且情节严重，可能触犯《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条，面临五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。
- 若辱骂行为导致对方精神损害严重，还可能构成《中华人民共和国刑法》第二百四十六条规定的侮辱罪或诽谤罪，需承担刑事责任。但需注意，侮辱罪、诽谤罪一般属于告诉才处理的案件，即需受害者自行向法院提起诉讼。
打架双方的责任：
- 打架行为若造成对方身体伤害，可能触犯《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条，根据伤害程度不同，面临不同程度的拘留和罚款。
- 若打架行为导致对方轻伤及以上伤害，则可能构成《中华人民共和国刑法》第二百三十四条规定的故意伤害罪，需承担刑事责任。
- 在打架过程中，双方均有过错的，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十三条，被侵权人对同一损害的发生或者扩大有过错的，可以减轻侵权人的责任。即双方可能根据各自的过错程度分担责任。
二、赔偿问题
赔偿原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
赔偿分担：
- 在双方均有过错的情况下，赔偿金额可能根据各自的过错程度进行分担。例如，若一方过错较大，则可能需承担更多赔偿责任；若双方过错相当，则可能平均分担赔偿责任。
三、处理流程
报警处理：
- 双方应立即报警，由公安机关进行调查取证，并根据调查结果依法作出处理决定。
伤情鉴定：
- 公安机关会安排双方进行伤情鉴定，以确定伤害程度，进而判断是否构成刑事犯罪或行政处罚。
协商赔偿：
- 在公安机关的主持下，双方可以尝试协商赔偿事宜。若协商不成，受害者可以向法院提起民事诉讼，要求侵权方承担赔偿责任。
法律诉讼：
- 若打架行为构成犯罪，公安机关将依法移送检察机关审查起诉，最终由法院进行审判。在民事赔偿方面，若协商不成，受害者也可以直接向法院提起民事诉讼。
行动建议：
- 在遭遇辱骂或打架等冲突时，应保持冷静，避免采取过激行为，以免加重法律责任。
- 及时报警并保留好相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以便后续维权。
- 在处理过程中，可以寻求专业律师的帮助，以更好地维护自己的合法权益。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将竭诚为你提供专业的法律服务。