分公司可以在总公司的授权下代表总公司签订协议，其法律依据及具体情况分析如下：
一、法律依据
《中华人民共和国公司法》的相关规定：
- 根据《中华人民共和国公司法》第十四条第一款，公司可以设立分公司，分公司不具有法人资格，其民事责任由公司承担。这表明分公司作为公司的组成部分，虽不具备独立法人资格，但依法设立并领取营业执照后，可从事一定的经营活动，包括签订协议。
《中华人民共和国民法典》的代理制度：
- 依据《民法典》第一百七十条，执行法人或者非法人组织工作任务的人员，就其职权范围内的事项，以法人或者非法人组织的名义实施的民事法律行为，对法人或者非法人组织发生效力。分公司负责人或工作人员在职权范围内以分公司名义签订的协议，若得到总公司授权，则对总公司产生法律效力。
- 同时，《民法典》第一百六十二条也规定，代理人在代理权限内，以被代理人名义实施的民事法律行为，对被代理人发生效力。分公司作为总公司的代理人，在总公司授权范围内签订的协议，其法律后果直接归属于总公司。
《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉的解释》的确认：
- 该解释第五十二条规定，依法设立并领取营业执照的法人的分支机构，可以作为民事诉讼的当事人。这进一步确认了分公司在经济活动中的相对独立性，包括签订协议的有效性。
二、具体情况分析
有总公司明确授权的情况：
- 分公司获得了总公司的明确授权，且授权范围涵盖所涉协议的签订事宜时，分公司可以以总公司的名义签订协议。该协议的法律后果直接归属于总公司，一旦协议履行过程中出现问题或产生纠纷，由总公司承担相应的法律责任。
构成表见代理的情况：
- 即便分公司没有获得总公司的明确授权，但如果相对人有理由相信分公司有代理权（如分公司长期以总公司名义对外开展业务、总公司曾对分公司类似行为予以默认或追认等），分公司签订协议的行为构成表见代理。在表见代理的情况下，所签订的协议依然有效，总公司需承担协议责任。但总公司承担责任后，可以根据内部规定追究分公司相关人员的责任。
既无授权也不构成表见代理的情况：
- 若分公司既没有总公司的明确授权，又不构成表见代理，擅自以总公司名义签订协议，该协议属于效力待定协议。如果总公司事后追认该协议，则协议有效，法律后果由总公司承担；若总公司拒绝追认，则该协议对总公司不发生效力，由分公司自行承担相应后果（实际上仍由总公司承担补充责任，因为分公司无法独立承担民事责任）。
分公司以自己名义签订协议：
- 分公司在一定范围内可以以自己的名义从事经营活动并签订协议。只要分公司具备相应的民事行为能力且协议内容不违反法律法规的强制性规定，这类协议是有效的。承担责任时，首先以分公司管理的财产承担，不足部分由总公司承担补充责任。
三、建议与注意事项
- 确保授权明确性：分公司对外签订协议前，必须确保已获得总公司的明确授权，并清晰了解授权的具体范围和期限。超出授权范围或期限的协议可能对总公司无效，甚至引发法律风险。
- 严格审查协议内容：分公司在签订协议时，应仔细审查协议条款，特别是关于协议主体、标的、数量、质量、价款、履行期限、地点和方式等关键条款，以确保符合总公司利益和法律要求。
- 及时备案与报告：协议签订后，分公司应及时向总公司备案并报告协议履行情况。这有助于总公司及时了解分公司的经营状况和风险状况，并采取必要措施进行管理和控制。
综上所述，分公司可以在总公司的授权下代表总公司签订协议，也可以在一定范围内以自己的名义签订协议。但无论哪种情况，分公司所签订的协议所产生的民事责任最终都由总公司承担（分公司以自己名义签订协议时，首先以其管理的财产承担，不足部分由总公司承担）。因此，在与分公司签订协议时，务必谨慎审查其授权情况，以确保协议的合法性和有效性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。