结论：雇主责任险直接支付员工后，员工是否还可以向公司索要赔偿，需根据具体情况判断，主要取决于保险赔偿是否完全覆盖了员工的损失以及公司是否存在其他应承担赔偿责任的情形。
分析说明：
保险赔偿与损失覆盖情况：
- 如果雇主责任险的赔偿金额完全覆盖了员工因工伤或职业病所遭受的全部损失（包括医疗费、误工费、伤残赔偿金等），那么员工在获得保险赔偿后，通常不能再向公司主张额外的赔偿。因为此时员工的损失已经得到了充分的补偿。
- 如果保险赔偿金额不足以覆盖员工的全部损失，员工有权就未获赔偿的部分向公司提出索赔。公司作为雇主，在保险赔偿不足的情况下，仍需承担相应的赔偿责任。
公司是否存在其他应承担赔偿责任的情形：
- 除了工伤或职业病导致的损失外，如果员工因公司的原因（如违反劳动法规定、未提供安全的工作环境等）遭受了其他损失，员工仍然有权向公司提出索赔。这些损失可能包括但不限于因公司违法行为导致的精神损害赔偿、额外医疗费用等。
- 此外，如果公司在购买雇主责任险时存在欺诈、隐瞒等行为，导致保险赔偿金额不足或无法获得赔偿，员工也有权向公司追究责任。
法律建议：
- 对于员工而言，在获得雇主责任险赔偿后，应仔细核对赔偿金额是否覆盖了全部损失。如果发现赔偿不足，应及时与公司沟通并寻求法律途径解决。
- 对于公司而言，应确保购买的雇主责任险足够覆盖员工可能遭受的损失，并遵守相关法律法规，避免因违法行为导致额外的赔偿责任。同时，在处理员工索赔时，应积极与员工沟通，寻求合理的解决方案。
后续行动指引：
- 如果员工认为保险赔偿不足或公司存在其他应承担赔偿责任的情形，建议收集相关证据（如医疗记录、工资单、公司违法行为证明等），并向公司提出书面索赔要求。
- 如果公司拒绝赔偿或双方无法达成一致，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
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