刑事案件调查3个月又延期一个月，这属于刑事诉讼程序中的正常现象，但具体是否合法及后续应对措施需结合案件具体情况分析。以下分情况详细说明：

1. 关于延期的合法性
   根据《刑事诉讼法》第一百五十六条，对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限一般不得超过2个月。若案情复杂、期限届满不能终结，可经上一级人民检察院批准延长1个月（即“3个月”为常见最长羁押期限）。若符合以下情形之一，还可进一步延长：
   

• 交通不便/流窜作案/涉及面广：经省、自治区、直辖市检察院批准，可再延长2个月；
  
• 重大复杂案件：可能判处10年以上有期徒刑，经省、自治区、直辖市检察院批准，可再延长2个月；
  
• 特殊原因：如犯罪嫌疑人患有严重疾病、生活不能自理，或怀孕/正在哺乳婴儿，或系生活不能自理人的唯一扶养人，在符合条件的情况下可取保候审或监视居住，但羁押期限仍可能因调查需要延长。
  

若您的案件已满足上述法定延长条件，且程序合法（如已获相应检察院批准），则延期1个月属于合法操作；若未满足条件或未履行审批程序，则可能涉嫌程序违法，可依法提出异议。

1. 当事人及家属的应对措施
   

• 核实延期合法性：要求办案机关出示延长羁押期限的书面决定（如《批准延长侦查羁押期限决定书》），确认是否经法定程序批准、延长理由是否与案件情况匹配。
  
• 申请取保候审：若案件事实已基本查清、证据充分，或犯罪嫌疑人符合取保条件（如可能判处管制/拘役/独立适用附加刑，或患有严重疾病/生活不能自理等），可向办案机关提交《取保候审申请书》，争取变更强制措施。
  
• 委托律师介入：律师可会见犯罪嫌疑人了解案情，向办案机关沟通延期必要性，对违法延期提出书面异议，或申请羁押必要性审查（向检察院提交《羁押必要性审查申请书》），推动案件尽快进入审查起诉阶段。
  

1. 延期对案件的影响
   

• 调查时间延长：办案机关可继续收集证据、完善指控体系，但需在延期期限内完成调查并移送检察院审查起诉；
  
• 当事人权利保障：延期期间，犯罪嫌疑人仍享有辩护权、申诉权等，若认为权益受损（如超期羁押、刑讯逼供），可向检察院驻所检察室或上级机关投诉。
  

若您或家属的案件涉及延期，建议尽快委托律师介入，通过法律程序监督办案合法性，同时争取对当事人有利的处理结果。如有具体案情或疑问，可直接向我咨询，我会结合细节进一步分析。