您好，关于在职教师是否可以请病假到退休的问题，这需要根据具体情况和现行政策来详细解答。

首先，我们要明确的是，在职教师并不能单纯地通过请病假一直延续到退休。按照现行国家政策规定，机关事业单位职工（包括在职教师）的退休年龄是有明确规定的，男性年满60周岁、女干部年满55周岁、女工人年满50周岁，且工作年限满10年的，应当退休。这是基本的退休年龄规定，与是否请病假无关。

然而，对于因病丧失工作能力的在职教师，国家有相应的提前退休政策。具体来说，如果事业单位人员（包括教师）符合一定条件，如干部中男性年满50周岁，女性满45周岁，参加革命工作年限满10年，且完全丧失劳动能力的，或者因工致残完全丧失能力的，可以办理提前退休。但这一政策需要按照干部管理权限进行管理，并出台相应的政策措施，且并非所有因病请假的教师都能享受这一待遇，必须满足完全丧失劳动能力的条件。

另外，关于病假与带薪年休假的关系，根据《职工带薪年休假条例》的规定，职工请病假达到一定期限的，将不享受当年的带薪年休假。具体来说，累计工作满1年不满10年的职工，请病假累计2个月以上的；累计工作满10年不满20年的职工，请病假累计3个月以上的；累计工作满20年以上的职工，请病假累计4个月以上的，均不享受当年的带薪年休假。如果病假未达到上述期限，那么职工仍然依法享受带薪年休假。

综上所述，在职教师并不能通过请病假一直延续到退休。对于因病丧失工作能力的教师，国家有提前退休的政策，但需要满足一定条件并按照相关程序办理。同时，病假与带薪年休假的关系也需根据具体规定来理解。希望这些解答能帮助您更清晰地了解相关政策。如果您还有其他疑问或需要进一步的帮助，请随时告诉我。