结论：在健身房公共区域丢失物品且健身房拒绝调取监控的情况下，您确实可以报警。以下是对此问题的详细分析：

1. 报警的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，对于盗窃、诈骗、哄抢、抢夺、敲诈勒索或者故意损毁公私财物的行为，公安机关有权进行调查处理。在您的情况下，虽然丢失物品的具体原因尚不明确，但报警后，公安机关可以介入调查，通过调取监控（如果可能）或其他调查手段，帮助您查明事实真相。

2. 健身房的责任与义务：

   • 健身房作为公共场所的管理者，对在其场所内发生的财物损失事件，虽然不一定承担直接的赔偿责任，但有义务配合警方调查，提供必要的协助，包括调取监控录像等。如果健身房拒绝配合，这可能会妨碍警方的调查工作，甚至可能构成对警方调查工作的阻碍，从而面临相应的法律责任。

3. 报警后的处理流程：

   • 报警后，警方会初步了解情况，并决定是否立案调查。如果警方认为有必要，他们会要求健身房提供监控录像或其他证据。如果健身房拒绝提供，警方有权依法采取强制措施，如搜查令等，以获取相关证据。
   • 同时，您也可以向警方提供其他可能的线索，如丢失物品的描述、丢失时间、地点等，以便警方更准确地定位嫌疑人或查找物品。

4. 可能的法律后果与建议：

   • 如果警方能够查明事实真相，并找到嫌疑人或找回丢失物品，那么您的问题将得到解决。
   • 如果警方无法查明事实真相，或者健身房确实存在过错（如监控设备损坏、未及时维修等），您可能需要考虑通过法律途径追究健身房的责任。在这种情况下，您可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和可能的赔偿方案。
   • 建议：在报警前，您可以先尝试与健身房协商解决，要求他们提供监控录像或协助调查。如果协商无果，再考虑报警或采取其他法律措施。同时，为了保障自己的权益，您可以在丢失物品后立即报警，并尽可能提供详细的丢失情况和线索。

综上所述，您在健身房公共区域丢失物品且健身房拒绝调取监控的情况下，完全有权报警。警方将依法进行调查处理，并尽力帮助您找回丢失物品或查明事实真相。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。