结论：一家人都同意父亲继承母亲的遗产，并写了同意书按了手印，这份同意书在家庭内部是具有法律效力的，但为了确保其对外也具有更强的法律效力和公信力，建议进行公证。

分析说明：

1. 家庭内部同意书的法律效力：

   • 在家庭内部，如果所有法定继承人都同意由父亲继承母亲的遗产，并签署了同意书且按了手印，这份同意书在家庭成员之间是具有法律约束力的。它表明了家庭成员对遗产分配的一致意见，可以避免家庭内部的遗产纠纷。

2. 公证的作用与必要性：

   • 公证是公证机构根据自然人、法人或者其他组织的申请，依照法定程序对民事法律行为、有法律意义的事实和文书的真实性、合法性予以证明的活动。
   • 虽然家庭内部的同意书在家庭成员之间具有法律效力，但为了确保其对外也具有更强的法律效力和公信力，特别是当涉及到与第三方（如银行、房产管理部门等）的交易或纠纷时，公证就显得尤为重要。
   • 公证可以证明同意书的真实性、合法性，以及签署同意书的各方当事人的真实意愿，从而增强同意书的法律效力和可执行性。

3. 未公证可能带来的风险：

   • 如果未对同意书进行公证，当涉及到与第三方的交易或纠纷时，第三方可能会对同意书的真实性和合法性产生质疑，从而拒绝承认或执行同意书的内容。
   • 在某些情况下，未公证的同意书可能无法作为有效的法律证据，导致家庭成员在遗产分配上产生纠纷或无法维护自己的合法权益。

行动建议：

• 进行公证：为了确保同意书的法律效力和公信力，建议家庭成员共同前往公证机构，对同意书进行公证。公证过程中，公证员会对签署同意书的各方当事人的身份、意愿以及同意书的内容进行核实和确认，并出具公证书。
• 保留相关证据：在公证之前，家庭成员应保留好与遗产分配相关的所有证据，如遗嘱（如有）、亲属关系证明、财产证明等，以便在公证过程中提供给公证员进行核实。
• 咨询专业律师：如果在遗产分配过程中遇到任何法律问题或纠纷，建议及时咨询专业律师，以便获得专业的法律建议和帮助。

特殊场景提醒：

• 如果母亲在生前已经立有遗嘱，且遗嘱中明确指定了遗产的继承人或分配方式，那么即使家庭成员之间签署了同意书，也应以遗嘱的内容为准。在这种情况下，如果家庭成员对遗嘱的内容有异议或争议，应通过法律途径解决。