结论：在不知情的情况下，交警一般不可以随意驾驶私家车追摩托车，但在符合法定紧急情况且履行必要程序时可能例外。以下分情况详细说明：

1. 一般情况下，交警不可以随意驾驶私家车追摩托车
   • 执法规范要求：交警执行公务时，通常应当使用专门的警用车辆，并按照规定的程序和方式进行执法。警用车辆配备有专门的标识、警灯、警报器等设备，这些设备在执行任务时能够起到警示、威慑等作用，同时也有助于保障执法过程的安全和规范。如果交警随意驾驶私家车进行执法，可能会违反相关的执法规范和程序要求。
   • 证据合法性考量：在执法过程中，证据的合法性至关重要。如果交警驾驶私家车追摩托车，所获取的证据可能存在合法性瑕疵。例如，在追赶过程中拍摄的视频、照片等证据，可能因为执法主体和执法方式的违规而被认定为无效证据，从而影响对违法行为的认定和处理。
2. 在符合法定紧急情况且履行必要程序时，交警可能驾驶私家车追摩托车
   • 紧急情况例外：根据相关法律法规，在遇到紧急情况，如正在追捕犯罪嫌疑人、处置突发事件等，为了及时制止违法行为、保护公共安全和公民人身财产安全，交警在来不及调用警用车辆的情况下，可能会临时使用私家车进行追赶。但这种情况必须严格符合法律规定的紧急情形，并且事后需要及时向上级部门报告和说明情况。
   • 履行必要程序：即使是在紧急情况下使用私家车执法，交警也需要履行必要的程序。例如，应当向私家车车主说明情况，征得车主的同意；在使用过程中要遵守交通规则，确保自身和他人的安全；执法结束后，要对使用私家车的情况进行记录和备案等。