结论：在父亲拥有抚养权的情况下，母亲依然可以通过多种法律途径来确认和显示其与子女的母子关系，包括但不限于出生证明、户口簿、亲子鉴定以及法院判决或调解书等。
分析说明：
出生证明：
- 出生证明是证明母子关系最直接且有力的证据。它记录了母亲与子女之间的生物学联系，是法律上确认母子关系的基础文件。
- 无论父亲是否拥有抚养权，母亲的姓名都会出现在子女的出生证明上，这是无法更改的事实。
户口簿：
- 户口簿是记录家庭成员关系的重要法律文件。在户口簿上，母亲与子女的关系会被明确标注，如“母子”或“母女”。
- 即使父亲拥有抚养权，母亲依然可以保留自己在户口簿上的记录，或者通过法律程序将自己的户口与子女的户口关联起来（如果之前未关联）。
亲子鉴定：
- 在某些特殊情况下，如出生证明遗失或存在争议时，可以通过亲子鉴定来确认母子关系。
- 亲子鉴定是一种科学的方法，通过比较母亲和子女的DNA样本来确定他们之间的生物学联系。
法院判决或调解书：
- 如果父母之间存在抚养权或探视权的争议，并且已经通过法律途径解决，那么法院的判决或调解书也会明确记录母亲与子女的关系。
- 这些法律文件具有法律效力，可以作为证明母子关系的有效证据。
行动建议：
- 保留相关证据：母亲应妥善保管自己的出生证明、子女的出生证明、户口簿等法律文件，以备不时之需。
- 法律途径确认：如果母亲与子女之间的关系受到质疑或争议，可以通过法律途径（如申请亲子鉴定、提起诉讼等）来确认和显示母子关系。
- 咨询专业律师：在处理涉及母子关系的法律问题时，母亲可以咨询专业律师以获取更具体和个性化的法律建议。
法律背景：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母与子女之间的关系不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。
- 因此，即使父亲拥有抚养权，母亲依然享有与子女的亲子关系，并有权通过法律途径来确认和显示这种关系。