要证明母子关系，您可以根据具体情况选择以下几种方式来办理：

一、通过公安机关出具证明（若符合条件）

根据《关于改进和规范派出所出具证明工作的实施意见》，如果曾经同户人员间的亲属关系，历史户籍档案等能够反映，需要开具证明的，原户籍地公安派出所应当依据户籍登记及变动轨迹信息出具。但如果您从未和母亲在一个户口本上登记过，且公安机关内部查无相关记录，那么公安机关可能无法直接为您出具曾经同户证明。在这种情况下，您可能需要考虑其他证明方式。

二、通过线上平台办理（如“吉事办”等）

一些地区已经推出了线上办理亲属关系证明的服务，例如“吉事办”App。您可以通过以下步骤在手机上便捷办理：

1. 下载并打开“吉事办”App：您可以在应用商店搜索并下载“吉事办”App。
2. 进入亲属关系证明服务：在App中搜索“亲属关系证明”进入服务，或在应用服务里找到“户政(治安)”，点击“亲属关系证明”进入。
3. 进行身份认证：通过“人脸认证”方式进行身份认证。
4. 输入亲属信息并提交：进入页面后，输入您母亲的姓名和身份证号，点击“提交”。
5. 查看并保存证明：提交后，您即可查看本人的亲属关系证明。已开具的证明可通过“我的”-“我的证明”-“我开具的证明”进行查看、保存或打印。

注意：线上办理的亲属关系证明有效期为3个月，且仅适用于特定业务办理场景，如小额遗产继承、往来港澳探亲等。同时，不同地区的线上办理平台可能有所不同，请根据您所在地区的实际情况选择合适的平台。

三、通过其他部门材料或司法程序证明

如果公安机关无法出具证明，且您无法通过线上平台办理，您还可以考虑以下方式：

1. 单位人事档案或学籍档案：如果您或您母亲的工作单位或学校有保存相关的人事档案或学籍档案，且这些档案中能够反映母子关系，您可以尝试向这些部门申请出具相关证明。但需要注意的是，根据相关规定，公安机关可能不会直接依据这些部门材料出具凭证，而是会告知您走司法公正程序证明亲属关系。
2. 司法公正程序：如果其他方式均无法证明母子关系，您可以考虑通过司法公正程序来证明。这通常需要您向法院提起诉讼或申请公证，由法院或公证机构根据相关证据和法律规定来认定母子关系。

四、补充材料或辅助证明

在办理母子关系证明时，您还可以考虑提供一些补充材料或辅助证明来增强证明力，例如：

• 出生医学证明（如果遗失，可尝试向出生医院或当地卫生健康部门申请补办或出具相关证明）；
• 父母离婚证及离婚协议（如果涉及离婚情况，且离婚证遗失，可尝试向当地民政部门申请补办或出具相关证明）；
• 其他能够反映母子关系的材料，如共同生活的照片、视频、证人证言等。

综上所述，证明母子关系的方式有多种，您可以根据具体情况选择合适的方式办理。如果遇到困难或疑问，建议咨询当地公安机关或相关部门以获取更具体的指导和帮助。