在劳动仲裁过程中，劳动者确实有权要求用人单位提交发给劳动者的offer原件，但这一权利的实现需遵循一定的程序和规则。以下从几个方面为你详细分析：
一、法律依据与原则
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，劳动争议仲裁委员会在受理劳动争议案件后，有权要求当事人提供与案件相关的证据材料。这包括但不限于劳动合同、工资单、工作证、offer等能够证明劳动关系存在及劳动条件、待遇等方面的证据。因此，从法律层面讲，劳动者在劳动仲裁时要求用人单位提交offer原件，是有法律依据的。
二、实际操作与程序
提出申请：在劳动仲裁过程中，劳动者或其代理人可以向仲裁庭提出书面申请，要求用人单位提交offer原件作为证据。申请中应明确说明要求提交的证据名称、内容以及与案件的关联性。
仲裁庭审查：仲裁庭在收到劳动者的申请后，会对申请进行审查。如果认为该证据对于查明案件事实、分清责任具有重要作用，仲裁庭会要求用人单位在规定的时间内提交offer原件。
用人单位提交：用人单位在收到仲裁庭的要求后，应在规定的时间内提交offer原件。如果用人单位拒绝提交或无法提交，仲裁庭可能会根据其他证据材料以及案件情况，对用人单位作出不利的推断或裁决。
三、注意事项与建议
保留证据：劳动者在收到用人单位的offer后，应妥善保管原件或复印件，以备不时之需。在劳动仲裁过程中，如果用人单位拒绝提交offer原件，劳动者可以提供自己保留的复印件或其他证据材料来证明offer的存在及内容。
及时申请：劳动者在劳动仲裁过程中，如果认为offer原件对于证明自己的主张具有重要作用，应及时向仲裁庭提出申请，要求用人单位提交。避免因为拖延时间而错过最佳时机。
咨询专业律师：劳动仲裁过程可能涉及复杂的法律问题和程序，劳动者在遇到问题时可以向我咨询，我会根据你的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。
总结来说，劳动者在劳动仲裁时有权要求用人单位提交offer原件作为证据，但需遵循一定的程序和规则。如果你在劳动仲裁过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。