针对您提出的“被监护人死亡时无法定继承人且无遗赠协议，遗产该怎么处置”的问题，以下是我根据相关法律法规及实际案例为您提供的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十条的规定：“无人继承又无人受遗赠的遗产，归国家所有，用于公益事业；死者生前是集体所有制组织成员的，归所在集体所有制组织所有。”这一条款为处理此类遗产提供了明确的法律依据。
二、处理流程
指定遗产管理人：
- 在被继承人（即被监护人）没有继承人或者继承人均放弃继承的情况下，利害关系人（如亲属、朋友或相关机构）可以根据相关法律规定，向人民法院申请指定民政部门担任遗产管理人。
- 民政部门被指定为遗产管理人后，将负责清理遗产、制作遗产清单，并采取必要措施防止遗产毁损、灭失。
处理债权债务：
- 遗产管理人（民政部门）将处理被继承人的债权债务，包括但不限于偿还债务、收取债权等。
剩余遗产的处理：
- 在依法处理完被继承人的债权债务后，若仍有剩余遗产，遗产管理人将向人民法院提起无主财产确认之诉。
- 经人民法院判决认定剩余遗产无主并收归国家所有的，由遗产管理人（民政部门）申请作出判决的人民法院执行。
三、实际案例参考
以上海徐汇区的一起实际案例为例：
- 案件背景：独居老人葛老伯去世后留下财产和房产，但他没有法定继承人，也未立遗嘱。
- 处理过程：徐汇区民政局作为葛老伯生前住所地的民政部门，被法院指定为遗产管理人。葛老伯的堂弟夫妇起诉要求分得遗产，理由是他们生前对葛老伯尽了较多抚养义务。
- 判决结果：法院结合堂弟夫妇对葛老伯的扶养时间、扶养程度等事实，酌情判定他们分得部分遗产（130万元存款和保险金），而葛老伯的房产及其他剩余遗产则收归国家所有。
四、建议与提醒
- 早立遗嘱：为了避免身后财产分配产生纠纷或不符合本人真实意愿，建议被监护人（或任何人）在生前尽早立遗嘱或遗赠扶养协议。
- 定期排查：对于可能存在无继承人的情况，建议安排街道、居委或委托第三方机构进行定期排查，发现后及时上报民政部门依法担任遗产管理人。
- 了解法律程序：在处理此类遗产时，应了解并遵循相关法律程序，确保遗产的合法、公正处理。
综上所述，当被监护人死亡时无法定继承人且无遗赠协议时，其遗产将依法归国家所有并用于公益事业。在此过程中，民政部门将担任遗产管理人角色，负责清理遗产、处理债权债务以及剩余遗产的处置工作。希望以上解答能对您有所帮助。