结论：在合伙做小工程庭审后，一般不能直接申请再审“故意拖欠罪”（我国刑法中并无此罪名，可能涉及的是拒不支付劳动报酬罪等类似罪名）和“提供伪证罪”，但可根据具体情况考虑申请再审其他相关罪名或程序问题，同时，若存在提供伪证行为，可依法追究相关人员的刑事责任。以下是对此问题的详细分析：
一、关于“故意拖欠罪”的再审问题
罪名分析：
- 我国刑法中并无“故意拖欠罪”这一罪名。若是指拖欠工程款或劳动报酬等行为，可能涉及的是拒不支付劳动报酬罪（刑法第二百七十六条之一）。该罪名要求以转移财产、逃匿等方法逃避支付劳动者的劳动报酬或者有能力支付而不支付劳动者的劳动报酬，数额较大，经政府有关部门责令支付仍不支付的行为。
再审条件：
- 若已就拒不支付劳动报酬罪等罪名进行庭审并作出判决，再审的申请需符合刑事诉讼法规定的再审条件，如原判决、裁定认定事实错误或者适用法律错误、量刑不当，或者审判人员在审理案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为等。
- 单纯因为拖欠行为本身，并不直接构成再审的理由。需要证明原判决在事实认定、法律适用或程序上存在错误。
二、关于“提供伪证罪”的再审问题
罪名分析：
- 提供伪证罪（刑法第三百零五条）是指在刑事诉讼中，证人、鉴定人、记录人、翻译人对与案件有重要关系的情节，故意作虚假证明、鉴定、记录、翻译，意图陷害他人或者隐匿罪证的行为。
再审与伪证罪的关系：
- 若在庭审过程中发现有人提供伪证，且该伪证行为影响了案件的公正审理，这可以作为申请再审的理由之一，但并非直接申请再审“提供伪证罪”。而是因为伪证行为可能导致原判决在事实认定上存在错误，从而符合再审的条件。
- 对于提供伪证的行为人，若其行为构成提供伪证罪，应依法追究其刑事责任，但这与申请再审原案件是两个独立的法律程序。
三、再审申请的具体操作
申请主体：
- 当事人及其法定代理人、近亲属，对已经发生法律效力的判决、裁定，可以向人民法院或者人民检察院提出申诉，但不能停止判决、裁定的执行。
申请材料：
- 申诉书、生效法律文书副本、相关证据材料等。申诉书应详细阐述申诉理由和请求，并提供相关证据支持。
审查与处理：
- 人民法院或人民检察院对申诉材料进行审查后，认为符合再审条件的，将决定再审；认为不符合条件的，将驳回申诉。
四、建议
收集证据：
- 若认为原判决存在错误或存在提供伪证等违法行为，应积极收集相关证据，以支持再审申请。
咨询专业律师：
- 鉴于再审程序的复杂性和专业性，建议咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和指导。
依法维权：
- 在申请再审过程中，应遵守法律法规和程序规定，依法维护自己的合法权益。
若您在合伙做小工程过程中遇到相关法律问题，或对再审程序有进一步疑问，可以直接向我咨询。