关于员工请病假是否可以不经过批准以及是否合法的问题，这涉及到劳动者的基本权利和用人单位的管理权限，需要我们从多个角度来详细分析。

首先，从劳动者的基本权利来看，休息休假权是劳动者的基本权利之一。当劳动者患病或受伤时，基于健康权的保障，他们有权休息。这意味着，在具备休息休假的法定事由（如医院出具的诊断证明建议休息）后，劳动者有权享受病假，而这一权利并不完全取决于用人单位的批准。

其次，从用人单位的管理权限来看，用人单位确实有权对员工的病假申请进行审核。这种审核权主要体现在对病假申请的形式、内容和流程的审查上。例如，用人单位可以要求员工提供病历本、诊断证明、药费单据等证明材料，以确保病假的真实性和合理性。然而，这种审核权并不等同于审批权。用人单位不能仅凭自己的主观判断就拒绝员工的病假申请，尤其是在医院已经出具诊断证明建议休息的情况下。

现在，我们来看一些具体的案例。在第一个案例中，韩女士因怀孕需要保胎休息，医院出具了诊断证明建议休息15天。尽管公司制度规定15天以上的病假必须经过分管领导签字同意，但韩女士仍然有权休息。公司以韩女士“未经批准休病假”对其作出解除劳动合同处理，这一行为是违法的，因为韩女士的诊断证明真实有效，她具备休假的权利。

在第二个案例中，黄先生因呼吸道感染开了三天病假，但用人单位认为不符合规定而未批准。黄先生在向用人单位做了简短说明后，仍然休了三天病假。然而，三天后他被告知因旷工被开除。这一做法同样欠妥。因为纵然黄先生没有配药打针，也不是不准假的理由。如果职工病情与病假单相吻合，用人单位就应该让职工休息。

综上所述，员工请病假并不完全取决于用人单位的批准。在具备休息休假的法定事由后，劳动者有权休息，而用人单位只有审核权，没有审批与否的决定权。当然，为了规范病假管理流程，用人单位可以设定合理的请假审核程序，但这并不意味着可以随意剥夺劳动者的病假权利。如果用人单位滥用审批权或违反法律规定解除劳动合同，劳动者有权依法维护自己的权益。