孩子被学校无辜退学，家长有权申请赔偿，但具体能否获得赔偿及赔偿金额，需根据退学原因、学校行为是否违法以及造成的实际损失等因素综合判断。以下从不同角度进行分析：

一、学校退学行为的合法性审查

1. 合法退学情形：

   • 若孩子存在严重违反校规校纪（如打架斗殴、作弊等）、违法犯罪行为，或因健康原因无法继续学业等法定情形，学校依据相关规定作出的退学决定，通常视为合法行为，家长难以主张赔偿。

2. 非法退学情形：

   • 若学校无正当理由（如误解、歧视、报复等）单方面退学，或退学程序违反教育法规（如未听取学生及家长意见、未履行告知义务等），则可能构成违法。此时，家长有权要求学校撤销退学决定，恢复孩子学籍，并可主张因退学造成的损失赔偿。

二、赔偿请求的法律依据

1. 《中华人民共和国教育法》：

   • 该法规定，受教育者享有平等的受教育权利，学校不得违反国家规定开除学生。若学校违法退学，侵犯了孩子的受教育权，家长可依据此法主张权利。

2. 《中华人民共和国民法典》侵权责任编：

   • 若学校退学行为导致孩子精神损害（如自尊心受损、社交障碍等）或经济损失（如额外支出的教育费用、未来收入减少等），家长可依据民法典中关于侵权责任的规定，要求学校承担赔偿责任。

三、赔偿范围及计算

1. 经济损失：

   • 包括因退学导致的额外教育支出（如转学费用、补习费用等）、未来收入减少的预期损失（需结合孩子年龄、学业水平、就业前景等因素综合评估）。
   • 计算公式示例：若因退学需额外支出转学费用5000元，且预计因学业中断导致未来五年收入减少20000元，则经济损失赔偿总额为25000元。

2. 精神损害赔偿：

   • 若退学行为对孩子造成严重精神损害（如长期抑郁、社交恐惧等），家长可主张精神损害赔偿。具体金额需根据损害程度、当地经济水平等因素由法院酌定。

四、维权途径

1. 协商解决：

   • 家长可首先与学校沟通，要求学校说明退学原因，并协商撤销退学决定或赔偿事宜。

2. 行政投诉：

   • 若协商无果，家长可向当地教育行政部门投诉，要求行政部门介入调查并作出处理。

3. 法律诉讼：

   • 若行政投诉未能解决问题，家长可向法院提起民事诉讼，要求学校承担侵权责任并赔偿损失。

五、注意事项

• 证据收集：家长在维权过程中应注重收集证据，如退学通知、校规校纪、孩子学业表现、医疗证明、经济损失凭证等，以支持自己的主张。
• 时效限制：注意诉讼时效问题，一般自知道或应当知道权利被侵害之日起三年内提起诉讼。

总结：孩子被学校无辜退学，家长有权根据具体情况申请赔偿。建议家长首先与学校协商，若协商无果，可寻求行政投诉或法律诉讼途径维权。在维权过程中，注重证据收集和时效限制，以确保自身权益得到有效保障。如有进一步疑问或需要具体法律帮助，可直接向我咨询。