结论：在法院民事案件中，若法律关系认定错误但判决结果正确，检察机关是否应该监督需分情况讨论，一般而言，检察机关不必然因此启动监督程序，但在特定情形下可能会进行监督。

分析如下：

1. 检察机关监督的基本原则：

   • 检察机关对民事诉讼活动的监督，主要依据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，其监督范围包括审判程序是否合法、裁判结果是否公正等。但监督的启动并非仅因法律关系认定错误，而是需综合考虑案件整体情况，包括是否损害国家利益、社会公共利益或当事人合法权益等。

2. 法律关系认定错误但判决结果正确的情形：

   • 法律关系认定错误未影响实体公正：若法院在认定法律关系时存在偏差，但这一偏差并未影响案件的实体处理结果，即判决结果仍然公正、合理，那么检察机关通常不会因此启动监督程序。因为监督的目的是纠正错误，维护公正，若结果已公正，则无需再行监督。
   • 法律关系认定错误可能影响程序公正或当事人权益：尽管判决结果正确，但如果法律关系认定错误导致了程序上的不公正，如剥夺了当事人的诉讼权利，或者可能对当事人的未来权益产生潜在影响，那么检察机关可能会考虑启动监督程序，以纠正程序错误，保障当事人的合法权益。

3. 检察机关监督的具体情形：

   • 根据《人民检察院民事诉讼监督规则》等相关规定，检察机关在发现法院民事诉讼活动存在违法情形时，可以依职权启动监督程序。这些违法情形包括但不限于：审判组织组成不合法、应当回避的审判人员未回避、无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼、违法剥夺当事人辩论权利等。若法律关系认定错误属于上述违法情形之一，或者导致了类似后果，检察机关则可能会进行监督。

4. 建议与行动：

   • 对于当事人而言，若认为法院在民事案件中法律关系认定错误且影响了自身权益，即使判决结果看似正确，也应及时向检察机关申请监督或提出申诉。同时，提供充分的证据和理由，以支持自己的主张。
   • 检察机关在收到监督申请或申诉后，应依法进行审查，并根据审查结果决定是否启动监督程序。若认为需要监督，则应依法提出抗诉或检察建议，以纠正法院的错误。

进一步思考：

• 在民事案件中，法律关系的认定是案件处理的基础和前提。因此，法院在认定法律关系时应尽可能准确、全面。若因法律关系认定错误导致案件处理不当或当事人权益受损，不仅可能引发检察机关的监督，还可能影响法院的司法公信力和权威性。
• 当事人在参与民事诉讼活动时，也应充分了解自己的权利和义务，积极行使诉讼权利，维护自身合法权益。若对法院的判决或裁定有异议，应及时通过合法途径提出申诉或申请监督。

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