结论：在此情境下，一方老公打了另一方，是否构成刑事责任，需根据具体伤情、行为性质及法律规定综合判断。以下从不同角度进行分析：
从伤情角度分析
- 轻微伤：若被打一方经鉴定为轻微伤，那么打人者可能面临的是《中华人民共和国治安管理处罚法》下的行政处罚，如拘留、罚款等，而不构成刑事犯罪。但值得注意的是，即便不构成刑事犯罪，打人者仍需承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费等。
- 轻伤或重伤：若被打一方经鉴定为轻伤或重伤，那么打人者就可能触犯了《中华人民共和国刑法》中的故意伤害罪。根据伤情的不同，打人者可能面临三年以下有期徒刑、拘役或管制（轻伤），或者三年以上十年以下有期徒刑（重伤）。若致人死亡或以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，还可能面临更严厉的刑罚。
从行为性质角度分析
- 故意伤害：如上述分析，若打人者出于故意，且造成了对方身体上的伤害，那么其行为就可能构成故意伤害罪。
- 正当防卫或防卫过当：若被打一方在争吵过程中先动手，而打人者是在为了保护自己或他人免受正在进行的不法侵害而采取的防卫行为，且防卫行为没有明显超过必要限度，那么打人者的行为可能构成正当防卫，不负刑事责任。但若防卫行为明显超过必要限度，造成重大损害的，则可能构成防卫过当，需要承担一定的刑事责任，但应当减轻或免除处罚。
从法律程序角度分析
- 报警与立案：无论伤情如何，被打一方都有权报警。警方在接到报警后，会进行调查取证，并根据伤情鉴定结果决定是否立案。若构成刑事犯罪，警方将依法对打人者采取刑事强制措施。
- 民事赔偿：无论是否构成刑事犯罪，打人者都需承担民事赔偿责任。被打一方可以通过民事诉讼途径要求打人者赔偿医疗费、误工费、护理费等经济损失。
建议：
- 对于被打一方，建议及时报警并保留好相关证据，如医疗记录、现场照片等，以便后续维权。
- 对于打人一方，建议积极配合警方调查，如实陈述事实，并考虑与被打一方协商赔偿事宜，以减轻可能的法律后果。
后续行动：若您或您身边的人遇到类似情况，且对法律程序或赔偿问题有疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。