当公司法定代表人死亡后，公司的诉讼主体资格和执行措施是一个需要细致处理的问题。以下是我根据相关法律法规和公司实务给出的全面解答：
结论前置
公司法定代表人死亡后，公司仍具备独立的法人资格，诉讼活动不会因此中断。公司应迅速按照公司章程和相关法律规定确定新的法定代表人或诉讼代表人，并向法院提交相关变更材料，以确保诉讼活动的顺利进行。
诉讼主体资格
公司法人资格不受影响：
- 公司作为法人实体，其权利和义务不因法定代表人的变动而消灭。因此，法定代表人死亡后，公司仍然具有诉讼主体资格。
确定新的法定代表人或诉讼代表人：
- 公司应依据《公司法》及公司章程的规定，迅速召开股东会、董事会等内部决策机构会议，重新选举或确定新的法定代表人。
- 若公司章程没有明确规定，或因特殊情况无法及时选出新的法定代表人，可由公司实际控制人、主要负责人或法院指定代表参加诉讼。
执行措施
已立案但未审结的案件：
- 公司应及时将法定代表人死亡情况及新诉讼代表人材料告知受诉法院，法院审查合格后允许新诉讼代表人继续参加诉讼。
- 原法定代表人已进行的诉讼行为对公司有效，新诉讼代表人应接续进行。
尚未立案的案件：
- 准备好相关材料后，按正常立案程序向有管辖权的法院提交起诉状和相关证据材料，明确写明新法定代表人或诉讼代表人信息。
特殊情况处理：
- 若涉及遗产继承或债务承担问题，可能需要先进行遗产清算或债务清理，诉讼可能需要中止，待完成后恢复审理。
- 若存在多个继承人或利益相关方争议，应先通过协商、调解或其他法律程序解决争议，确定明确的诉讼代表人或权益分配方案后再继续诉讼。
公司内部变更手续
- 公司需按照法律规定办理法定代表人变更手续，包括准备《企业法人变更登记申请书》等材料，递交给当地工商行政管理部门审查，并通知税务部门、银行等。
- 为避免后续纠纷，公司应尽快完成法人代表变更手续，并确保新法定代表人或诉讼代表人的合法性。
法律依据
- 《中华人民共和国公司法》相关规定，如第四十四条、第一百零八条等对公司组织机构的决策程序有明确规定。
- 《中华人民共和国民事诉讼法》及《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉的解释》中关于诉讼代表人的确定及变更的相关规定。
综上所述，公司法定代表人死亡后，公司应迅速应对，确保诉讼活动的连续性和有效性，同时依法完成法定代表人的变更手续，以维护公司的合法权益和正常运营。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。