在增加抚养费的案件中，第一庭未当庭宣判并要求被告提交收入证明后，是否会再次开庭，这取决于多种因素，无法给出绝对性的结论，但可以根据不同情况进行分析：
若被告按时提交了收入证明，且法院认为证据充分、事实清楚：
- 在这种情况下，法院可能会基于双方提交的证据和陈述，直接作出判决，而无需再次开庭。法院会综合考虑被告的收入状况、子女的实际需要以及当地的实际生活水平等因素，来确定抚养费的增加幅度。
若被告未按时提交收入证明，或法院认为需要进一步查明事实：
- 如果被告未能在法院指定的期限内提交收入证明，或者法院认为仅凭现有证据无法全面、准确地查明事实，那么法院可能会安排再次开庭。在再次开庭时，法院会要求被告提交收入证明，并可能要求双方进行进一步的陈述和辩论，以便更全面地了解案件情况，从而作出公正的判决。
若双方对抚养费增加幅度存在较大争议，且法院认为需要调解：
- 在抚养费纠纷案件中，法院通常会优先考虑通过调解的方式解决争议。如果双方对抚养费的增加幅度存在较大分歧，且法院认为调解有可能达成一致意见，那么法院可能会安排调解程序。在调解过程中，双方可以在法院的主持下，就抚养费的增加幅度进行协商，并尝试达成调解协议。如果调解成功，法院会制作调解书，并结束案件；如果调解失败，法院则会继续审理案件，并可能安排再次开庭。
法律背景与建议：
法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对子女有抚养教育的义务。子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。在子女成长过程中，如果原定的抚养费数额已不足以满足子女的实际需要，或者因子女患病、上学等实际需要已超过原定数额的，子女有权要求增加抚养费。
建议：作为原告方，在提起增加抚养费的诉讼时，应尽可能收集充分的证据来证明子女的实际需要以及被告的收入状况。同时，也应保持与法院的沟通联系，及时了解案件的进展情况，并根据法院的要求配合提供相关证据和材料。如果法院要求再次开庭或进行调解，应积极参与并表达自己的意见和诉求。
可能产生的法律后果：
- 如果法院最终判决增加抚养费，被告应按照判决确定的金额和期限按时支付抚养费。如果被告拒不履行判决义务，原告可以向法院申请强制执行。
- 如果法院认为原告的诉求不合理或证据不足，可能会驳回原告的诉讼请求或判决维持原定的抚养费数额。在这种情况下，原告如果仍有异议，可以考虑通过上诉等法律途径来维护自己的权益。
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