结论：以报复为目的投放虚假的有毒物品，但被害人因过敏死亡，该行为可能构成投放危险物质罪或者故意杀人罪，具体取决于行为人的主观故意和客观行为。
分析如下：
投放危险物质罪：
- 主观方面：如果行为人主观上明知投放的是虚假的有毒物品，但意图通过此行为造成公众恐慌或危害公共安全（尽管实际上并未投放真实有毒物质），且对被害人因过敏死亡的结果持过失心态，那么该行为可能构成投放危险物质罪的未遂与过失致人死亡罪的想象竞合犯，但通常更倾向于认定为投放危险物质罪（未遂）与过失致人死亡罪数罪并罚，或者根据具体案情，以投放危险物质罪（未遂）吸收过失致人死亡罪，或者按重罪处罚。不过，在大多数情况下，若行为人并无危害公共安全的故意，而是针对特定个体，则更可能不构成投放危险物质罪，而是构成其他罪名。但在此问题的特定情境下，若行为人的行为客观上对公共安全造成了抽象危险（如投放地点在公共场所），且其对被害人死亡结果有过失，则有可能构成此罪。然而，更严格的解读是，由于行为人投放的是“虚假”有毒物品，若其主观上并无危害公共安全的真实故意，则不构成投放危险物质罪的既遂。但考虑到问题的复杂性，我们仍需探讨其可能构成的此罪未遂形态与过失犯罪的竞合。不过，从更直接和常见的角度分析，若行为人并无危害公共安全的故意，则更可能构成故意杀人罪（间接故意或过失）而非投放危险物质罪。但为了全面分析，我们保留此角度的讨论。实际上，在大多数类似本案的情境下，若行为人针对特定个体，且并无危害公共安全的故意，则不构成投放危险物质罪，而是构成故意杀人罪或过失致人死亡罪。但为了严谨性，我们指出，在极特殊情况下，若行为人的行为对公共安全造成了抽象危险，且其对死亡结果有过失，则可能构成投放危险物质罪（未遂）与过失致人死亡罪的竞合。
- 客观方面：投放了虚假的有毒物品，且该行为在客观上对公共安全造成了抽象危险（在极特殊情况下），或者虽未造成公共安全危险，但导致了特定被害人因过敏死亡。
- 特殊说明：在大多数情况下，由于行为人投放的是虚假有毒物品，且通常针对特定个体，因此不构成投放危险物质罪。但若投放行为在客观上对公共安全造成了抽象危险（如投放地点在人群密集区，且行为人明知可能引发恐慌或危害），且其对被害人死亡结果有过失，则可能构成此罪的未遂形态与过失犯罪的竞合。不过，这种情形较为罕见，且司法实践中更倾向于根据行为人的主观故意和客观行为的具体情况，认定为故意杀人罪或过失致人死亡罪。
故意杀人罪：
- 主观方面：如果行为人主观上具有杀人的故意，即明知自己的行为可能导致被害人死亡，并且希望或者放任这种结果发生，那么该行为可能构成故意杀人罪。在此情况下，即使行为人投放的是虚假的有毒物品，但如果其明知被害人对某种物质过敏，且该过敏反应可能导致死亡，仍然投放该物质，那么其主观上就具有杀人的故意。若行为人对被害人死亡结果持间接故意（即放任结果发生），则构成故意杀人罪（间接故意）；若行为人误以为投放的是真实有毒物质，且对死亡结果持直接故意，但实际上投放的是虚假有毒物质，由于主观故意与客观行为不一致，通常按故意杀人罪（未遂）与过失致人死亡罪（若对过敏死亡有过失）的想象竞合犯处理，但更可能根据具体案情，以故意杀人罪（未遂）吸收过失致人死亡罪，或者按重罪处罚。不过，在大多数情况下，若行为人明知是虚假有毒物质，但利用被害人过敏体质导致其死亡，且对死亡结果持放任态度，则直接构成故意杀人罪（间接故意）。
- 客观方面：投放了虚假的有毒物品，且该行为导致了被害人因过敏死亡。
- 具体情形：
- 若行为人明知被害人对某种物质过敏，且该过敏反应可能导致死亡，仍然投放该物质，且对死亡结果持放任态度，则构成故意杀人罪（间接故意）。
- 若行为人误以为投放的是真实有毒物质，意图杀害被害人，但实际上投放的是虚假有毒物质，且被害人因过敏死亡，则行为人构成故意杀人罪（未遂）与过失致人死亡罪的想象竞合犯（若对过敏死亡有过失），但通常根据具体案情，以故意杀人罪（未遂）吸收过失致人死亡罪，或者按重罪处罚。不过，在司法实践中，更可能根据行为人的主观故意和客观行为的具体情况，进行综合判断。
建议：
- 在此类案件中，关键在于证明行为人的主观故意和客观行为。如果行为人明知自己的行为可能导致被害人死亡，并且希望或者放任这种结果发生，那么其构成故意杀人罪的可能性较大。
- 如果行为人主观上并无杀人的故意，但对被害人因过敏死亡的结果持过失心态，且其行为在客观上对公共安全造成了抽象危险（在极特殊情况下），则可能构成投放危险物质罪（未遂）与过失致人死亡罪的竞合。但这种情况较为罕见，且司法实践中更倾向于认定为故意杀人罪或过失致人死亡罪。
- 鉴于此类案件的复杂性和严重性，建议行为人或其家属尽快咨询专业律师，以便根据具体案情进行详细分析和辩护。
后续思考：
- 在处理此类案件时，需要仔细审查行为人的主观故意、客观行为以及被害人死亡的具体原因。
- 还需要考虑行为人的行为是否对公共安全造成了实际危害或抽象危险，以及行为人是否对被害人死亡结果具有过失或故意。
- 司法实践中，对于此类案件的定性可能会因具体案情的不同而有所差异，因此需要律师进行详细的分析和辩护。
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