结论：父亲全款购买但登记在儿子名下的车辆，父亲是否有权抵押，需根据具体情况判断，一般情况下，若车辆登记在儿子名下，则儿子是法律上的所有权人，父亲无权直接抵押；但在特定情况下，如存在委托代理、借名购车等法律关系时，父亲可能享有抵押权。

分析说明：

1. 车辆所有权归属：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，动产物权的设立和转让，自交付时发生效力，但是法律另有规定的除外。机动车等特殊动产，其物权的设立、变更、转让和消灭，未经登记，不得对抗善意第三人。在此情况下，车辆登记在儿子名下，从法律外观上看，儿子是车辆的所有权人。

2. 抵押权的设立：

   • 抵押权是债权人对于债务人或第三人不移转占有而提供担保的财产，在债务人不履行债务时，依法享有的就担保的财产变价并优先受偿的权利。抵押权的设立通常需要抵押人与抵押权人签订书面抵押合同，并办理抵押登记。
   • 若父亲希望抵押该车辆，首先需要确认自己是否为车辆的所有权人或至少享有处分权。在车辆登记在儿子名下的情况下，父亲通常不直接享有抵押权。

3. 特殊情况分析：

   • 委托代理：如果父亲在购车时与儿子之间存在委托代理关系，即父亲委托儿子代为购车并登记在其名下，但实际购车款由父亲支付，且双方有明确的书面或口头协议约定车辆实际归父亲所有或父亲享有处分权，那么在这种情况下，父亲可能基于委托代理关系享有对车辆的抵押权。但这种情况需要充分的证据支持，如委托代理协议、付款凭证等。
   • 借名购车：如果父亲因某种原因（如限购政策、贷款限制等）借儿子的名义购车，并实际支付购车款，且双方有明确的借名购车协议约定车辆实际归父亲所有或父亲享有处分权，那么在这种情况下，父亲也可能基于借名购车协议享有对车辆的抵押权。但同样，这种情况也需要充分的证据支持，且可能面临法律风险，如借名购车协议的效力问题、车辆登记对抗第三人的问题等。

法律建议：

• 如果父亲希望抵押该车辆，建议首先与儿子协商，明确车辆的实际所有权和处分权归属，并签订书面协议。
• 如果存在委托代理或借名购车等特殊情况，建议咨询专业律师，评估法律风险，并准备充分的证据以支持自己的主张。
• 在任何情况下，都应遵守相关法律法规，避免采取非法手段或规避法律的行为，以免引发不必要的法律纠纷和损失。

后续行动：如果您有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律服务。