执行立案后发现已经履行完毕的，通常应由执行法院裁定终结执行程序。具体处理方式及法律依据如下：

1. 执行法院的审查义务
   根据《最高人民法院关于人民法院执行工作若干问题的规定（试行）》第64条，执行立案后，执行法院需对被执行人是否已履行完毕进行审查。若经审查确认债务已通过自动履行、和解协议履行或第三方代为履行等方式清偿，法院应依法裁定终结执行程序。

2. 申请执行人的举证责任
   若申请执行人发现被执行人已履行完毕，应及时向法院提交履行凭证（如转账记录、收条、和解协议等）。法院将根据证据材料核实履行情况，并作出相应裁定。若申请执行人未主动提交证据，法院亦可依职权调查核实。

3. 被执行人的权利救济途径
   若被执行人认为执行依据的债务已履行完毕，但法院未依法终结执行，可依据《民事诉讼法》第232条提出执行异议，要求法院审查并裁定终结执行。异议期间，法院应暂停对被执行人财产的处置措施。

4. 特殊情形处理

   • 部分履行：若债务仅部分履行，法院应裁定终结已履行部分的执行，剩余部分继续执行。
     
   • 履行瑕疵：若履行存在瑕疵（如履行标的物质量不符约定），申请执行人可另行提起诉讼主张权利，但不影响执行程序的终结。
     建议：各方当事人应保留履行凭证，并在发现履行完毕时及时向法院提交，以避免不必要的执行措施。若对执行程序有异议，可依法提出书面异议或申请复议。

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