结论前置：新老板无权要求租客向原老板支付租金，租客应依据与原老板签订的租赁合同，向新老板主张合同权利与义务的承继，若新老板拒绝履行，租客可通过法律途径维护自身权益。以下为详细分析：
一、合同相对性原则
根据《民法典》第四百六十五条：“依法成立的合同，仅对当事人具有法律约束力，但是法律另有规定的除外。”在菜场摊位租赁合同中，租客与原老板是合同的双方当事人，合同内容（包括租金支付、租赁期限等）仅对双方具有约束力。因此，租客应按照合同约定向原老板支付租金，直至合同到期或双方协商一致变更合同。
二、合同权利与义务的承继
若原老板将菜场摊位转让给新老板，且该转让行为合法有效（如原老板与新老板签订了转让协议，并办理了相关手续），则根据《民法典》第五百五十五条：“当事人一方经对方同意，可以将自己在合同中的权利和义务一并转让给第三人。”在此情况下，新老板将承继原老板在租赁合同中的权利与义务，包括收取租金的权利。但这一承继需以原老板与租客之间的合同变更或解除，以及新老板与租客之间建立新的租赁关系为前提。若未完成这些程序，新老板无权直接要求租客支付租金。
三、新老板的要求是否合法
若原租赁合同未变更或解除，且新老板未与租客建立新的租赁关系：新老板无权要求租客向原老板支付租金，因为租客与原老板之间的合同关系仍然存在，租客应继续履行合同义务，即向原老板支付租金（若合同未到期且未解除）。但实际操作中，原老板可能已将租金收取权转让给新老板，或新老板已代原老板收取租金，这需根据具体情况判断。若原老板已明确告知租客将租金支付给新老板，且租客同意，则租客应向新老板支付租金。
若原租赁合同已变更或解除，且新老板与租客建立了新的租赁关系：新老板有权要求租客按照新合同约定支付租金。但在此情况下，新老板应提供与租客签订的新租赁合同作为依据，并明确租金支付方式、期限等条款。
若新老板仅单方面要求租客向原老板支付租金，且未提供任何合法依据：这一要求是不合法的。租客有权拒绝新老板的无理要求，并继续按照原合同约定履行义务。若新老板因此采取不当手段（如停水、停电、强行清退等）干扰租客正常经营，租客可依法向相关部门投诉或提起诉讼，维护自身合法权益。
四、租客应如何应对
审查合同：租客应首先审查与原老板签订的租赁合同，明确合同期限、租金支付方式等条款，以及合同中是否有关权利义务承继或转让的约定。
与新老板沟通：租客可与新老板进行沟通，了解其要求支付租金的具体依据和理由。若新老板能提供合法有效的依据（如与原老板的转让协议、与租客的新租赁合同等），租客应按照新约定履行义务；若新老板无法提供合法依据，租客有权拒绝其要求。
寻求法律帮助：若租客与新老板无法达成一致意见，或新老板采取不当手段干扰租客正常经营，租客可寻求法律帮助，通过诉讼或仲裁等方式维护自身合法权益。
五、关于押金问题
若租客在签订原租赁合同时支付了押金，且合同中未明确约定押金的处理方式（如是否随合同转让给新老板、是否退还等），则租客应与原老板和新老板协商解决押金问题。若协商无果，租客可依据合同约定或相关法律规定，通过法律途径要求退还押金或主张其他权利。