事业单位员工患重度抑郁症，单位一般不能随意开除，但具体需根据员工的病情、医疗期情况、工作表现以及单位内部规定等多方面因素综合判断。以下是对此问题的详细分析：

一、通常不会被开除的情形

1. 在医疗期内：

   • 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》（事业单位在实践中也常参考类似规定），员工因患病（包括抑郁症）需要停止工作接受医疗时，根据其实际参加工作年限和在本单位工作年限，可享受三个月到二十四个月的医疗期。在此期间，单位不得随意解除与员工的人事关系。
   • 例如，若员工实际工作年限十年以下，在本单位工作年限五年以下，则可享受三个月的医疗期。在此期间，单位不能因其患抑郁症而开除。

2. 病情不影响工作：

   • 若员工虽患有重度抑郁症，但能正常履行工作职责，完成工作任务，且未对单位正常运转造成不良影响，则单位无合理理由将其开除。依据《中华人民共和国劳动法》、《中华人民共和国劳动合同法》及事业单位相关人事管理规定，单位解除人事关系需有法定理由和依据，不能仅因员工患病而辞退。

3. 特定保护情形：

   • 法律还规定了其他几种情形下，用人单位不得解除劳动合同，这些情形同样适用于事业单位员工。例如，女职工在孕期、产期、哺乳期；在本单位连续工作满十五年且距法定退休年龄不足五年等。若员工符合这些情形，单位不得因其患抑郁症而开除。

二、可能被开除的情况

1. 医疗期满无法胜任工作：

   • 若员工在规定的医疗期满后，仍不能从事原工作，也不能从事由单位另行安排的工作，且单位已提前三十日以书面形式通知员工本人或额外支付一个月工资，此时单位可以解除人事关系。但单位需提供充分证据证明员工确实无法胜任工作。
   • 例如，员工医疗期满后，经劳动能力鉴定委员会确认，确实无法从事原工作或单位另行安排的工作，且单位已履行提前通知或支付额外工资的义务，此时单位有权解除人事关系。

2. 严重违反单位规章制度：

   • 如果员工因抑郁症出现严重违反单位规章制度的行为，如经常无故旷工、严重影响工作秩序等，且单位的规章制度已经过合法程序制定并公示，那么单位有权依据规章制度解除与该员工的人事关系。
   • 但需注意，单位需证明员工的违规行为与抑郁症无直接关联，或员工在违规时具备完全的行为能力。若员工因抑郁症导致无法控制自己的行为，单位则不能仅因此将其开除。

综合建议

对于事业单位员工而言，若不幸患上重度抑郁症，应首先了解自身权益，积极与单位沟通，争取合理的医疗期和必要的支持。同时，单位也应秉持人文关怀，对员工给予适当的理解和帮助，如提供心理咨询、调整工作岗位等措施，以促进员工康复并维持单位的正常运转。在具体操作中，若遇到法律难题或争议，可直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。