当事人确实可以提起审判监督程序，但需满足一定条件并遵循法定程序。以下是对此问题的详细解析：
一、当事人提起审判监督程序的条件
根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，当事人申请再审（即提起审判监督程序的一种常见方式）需满足以下条件之一：
- 有新的证据：该证据足以推翻原判决、裁定，且是在原审结束后新发现的，对案件结果有实质性影响。例如，在原审中因客观原因未能获取的关键证据，在原审结束后被发现并能够证明原判决、裁定存在错误。
- 原判决、裁定认定事实错误：主要事实不清、证据不足，或依据的某个重要事实实际上并不存在。这要求当事人能够提供充分的证据证明原判决、裁定在事实认定上存在明显错误。
- 原判决、裁定适用法律错误：包括适用了已失效的法律条款，或对法律规定理解、适用有误。这要求当事人能够指出原判决、裁定在法律适用上的具体错误，并提供相应的法律依据。
- 原判决、裁定违反法定程序：如审判人员应回避而未回避，或未经传票传唤即缺席判决等，可能影响案件正确判决、裁定。这要求当事人能够证明原判决、裁定在程序上存在严重违法情形，且该违法情形对案件结果产生了实质性影响。
- 审判人员存在违法行为：在审理案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为。这要求当事人能够提供充分的证据证明审判人员在审理案件过程中存在违法行为，且该行为对案件结果产生了实质性影响。
二、当事人提起审判监督程序的程序要求
时间限制：
- 一般情况下，当事人应在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出再审申请。
- 若基于新的证据、原判决主要证据伪造、据以作出原判决的法律文书被撤销或变更、审判人员违法等情形，则自知道或应当知道之日起六个月内提出。
程序要求：
- 当事人需向有管辖权的人民法院提交再审申请书及相关材料，内容包括基本信息、申请再审的具体请求、事实和理由，并附上相关证据材料。
- 法院在收到再审申请书后，会认真审查当事人的再审申请，包括事由是否成立、证据是否充分、是否符合法定条件等。
三、法院对再审申请的审查与处理
- 审查过程：法院将认真审查当事人的再审申请，包括事由是否成立、证据是否充分、是否符合法定条件等。这一过程中，法院可能会要求当事人补充材料或进行进一步的调查取证。
- 处理结果：
- 如认为再审申请符合法律规定，法院将裁定再审，启动审判监督程序，重新审理案件。在重新审理过程中，法院将全面审查案件事实和法律适用，并作出新的判决或裁定。
- 如认为申请不符合法律规定，法院将裁定驳回再审申请。此时，当事人若仍认为原判决、裁定存在错误，可以考虑通过其他途径寻求救济，如向人民检察院申请抗诉或提出申诉等。
四、注意事项与建议
- 提起审判监督程序并不意味着原判决、裁定一定会被改变。法院将根据实际情况作出决定，因此当事人在提起审判监督程序前应充分评估风险和收益。
- 当事人在提起审判监督程序前，应充分准备相关证据和材料，确保申请得到法院支持。这包括收集新的证据、整理原判决、裁定的错误点等。
- 了解并遵循法定程序和时限要求至关重要。当事人应在规定的时间内提出再审申请，并按照法院的要求提交相关材料。否则，可能会错过申请机会或导致申请无效。
综上所述，当事人在认为已经发生法律效力的判决、裁定存在错误时，有权依法提起审判监督程序以寻求法律救济。但需满足一定条件并遵循法定程序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。