结论：家属私底下烧了遗体，一般情况下警察不会因此直接抓捕，但需视具体情节和法律规定来判断是否构成违法或犯罪行为。

分析说明：

1. 一般情况下的处理：

   • 在大多数情况下，家属私底下烧遗体并不直接构成违法或犯罪行为。这主要涉及到的是个人对遗体的处理方式，通常属于民事范畴，除非该行为违反了特定的法律法规或公序良俗。

2. 可能构成违法或犯罪的情形：

   • 违反殡葬管理规定：如果当地有明确的殡葬管理规定，要求遗体必须按照特定方式进行火化或处理，而家属私底下烧遗体违反了这些规定，那么可能会面临行政处罚，如罚款等。但这种情况通常不会直接导致刑事责任。
   • 污染环境：如果烧遗体的行为导致了环境污染，如空气污染、土壤污染等，且情节严重，那么可能构成污染环境罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，违反国家规定，排放、倾倒或者处置有放射性的废物、含传染病病原体的废物、有毒物质或者其他有害物质，严重污染环境的，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金；后果特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。但这种情况需要具体评估烧遗体的行为是否达到了“严重污染环境”的程度。
   • 其他特殊情况：如果烧遗体的行为与其他犯罪行为有关联，如故意毁坏财物、侮辱尸体等，那么可能根据具体情况构成相应的犯罪。

3. 法律建议：

   • 在处理遗体时，建议家属遵守当地的殡葬管理规定和法律法规，尊重公序良俗，避免不必要的法律纠纷。
   • 如果对遗体的处理方式有疑问或不确定，可以咨询当地的殡葬管理部门或法律专业人士，以确保行为的合法性。

后续行动建议：

• 如果家属已经私底下烧了遗体，且担心可能构成违法或犯罪行为，建议尽快咨询专业律师，了解具体的法律后果和应对措施。
• 如果烧遗体的行为确实违反了法律法规或公序良俗，且可能面临行政处罚或刑事责任，那么应积极配合相关部门的调查和处理，争取从轻或减轻处罚。

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