案件受理费一般按照最终判决支持的金额比例来分配，原告需承担部分费用，被告承担剩余部分，具体计算方式如下：

1. 案件受理费的预交：根据《诉讼费用交纳办法》第二十条，案件受理费由原告在提起诉讼时向法院预交。原告起诉20000元，法院会按照这个金额计算并通知原告预交相应的案件受理费（假设为X元，具体金额根据当地法院的收费标准确定）。

2. 判决后费用的分担：判决后，法院会根据判决结果重新计算案件受理费，并按照“败诉方负担”的原则，确定原、被告各自应承担的费用。具体到本案，判决支持了13000元，那么案件受理费的分担将基于这个金额与起诉金额的比例来计算。

   • 计算方式：假设起诉20000元对应的案件受理费为X元，那么判决支持13000元对应的案件受理费可以按比例计算为（13000/20000）*X元。这部分费用通常由被告承担（因为被告部分败诉）。
   • 原告承担的费用：原告则需承担剩余部分的案件受理费，即X - （13000/20000）*X = （7000/20000）*X元。这部分费用可以视为原告因部分诉求未得到支持而需自行承担的费用。

3. 特殊情况：如果案件存在反诉、部分胜诉部分败诉等复杂情况，法院可能会根据《诉讼费用交纳办法》第二十九条的规定，根据案件的具体情况决定当事人各自负担的诉讼费用数额。但在本案中，由于只涉及原告起诉和法院判决支持的情况，所以主要按照上述比例来分配案件受理费。

总结来说，在原告起诉20000元而判决支持13000元的情况下，案件受理费将按照判决支持的金额与起诉金额的比例来分配，原告需承担部分费用，被告承担剩余部分。具体金额需根据当地法院的收费标准和判决结果来计算。如果您对具体的计算过程或结果有疑问，可以直接向我咨询。