结论：打人造成轻伤被拘留，打人者愿意赔偿但其父母不愿意的情况下，赔偿责任的承担主要取决于打人者的民事行为能力。若打人者具有完全民事行为能力，则其父母无需承担赔偿责任，打人者需自行承担；若打人者为限制民事行为能力人或无民事行为能力人，则其父母作为监护人需承担赔偿责任。
分析说明：
打人者具有完全民事行为能力的情况：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，具有完全民事行为能力的成年人应当对自己的行为负责。因此，如果打人者已经成年且具备完全民事行为能力，那么其应当自行承担因打人行为造成的民事赔偿责任，包括医疗费、误工费、护理费等合理费用。
- 在此情况下，打人者的父母作为独立的民事主体，没有法律义务为打人者的侵权行为承担赔偿责任。即使打人者愿意赔偿，但其父母不愿意，这并不影响打人者个人应承担的赔偿责任。
打人者为限制民事行为能力人或无民事行为能力人的情况：
- 如果打人者是未成年人或者精神病人等限制民事行为能力人或无民事行为能力人，那么其父母作为监护人，有义务对被监护人的侵权行为承担民事赔偿责任。
- 在此情况下，即使打人者本人愿意赔偿，但由于其缺乏完全的民事行为能力，无法独立承担赔偿责任，因此其父母作为监护人需要代为承担。如果父母不愿意赔偿，受害者可以通过法律途径向打人者的父母主张权利。
后续行动建议：
- 对于受害者：如果打人者具有完全民事行为能力且其父母不愿意赔偿，受害者可以直接向打人者主张赔偿权利，包括通过协商、调解或诉讼等方式解决。如果打人者为限制民事行为能力人或无民事行为能力人，受害者可以向其父母主张赔偿权利。
- 对于打人者及其父母：如果打人者愿意赔偿但父母不愿意，打人者可以尝试与父母沟通，说明赔偿的必要性和法律责任，争取父母的支持。如果沟通无果，且打人者具备完全民事行为能力，那么打人者需要自行承担赔偿责任；如果打人者为限制民事行为能力人或无民事行为能力人，则父母作为监护人应依法承担赔偿责任。
特殊场景提醒：
- 在实际操作中，如果打人者确实没有赔偿能力，而其父母又拒绝赔偿，受害者可能会面临一定的赔偿困难。此时，受害者可以考虑通过法律援助、社会救助等途径寻求帮助，或者与打人者及其父母协商分期赔偿等解决方案。
法律依据引用：
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条：行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百八十八条：无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。监护人尽到监护职责的，可以减轻其侵权责任。
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