结论：私人校车是否有责任，需根据具体情况判断，主要看其是否尽到了管理职责以及是否存在过错。以下从不同角度进行分析：
一、若打人者为私人校车相关人员（如司机、随车人员）
法律责任分析：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百零一条，无民事行为能力人或者限制民事行为能力人在幼儿园、学校或者其他教育机构学习、生活期间，受到幼儿园、学校或者其他教育机构以外的第三人人身损害的，由第三人承担侵权责任；幼儿园、学校或者其他教育机构未尽到管理职责的，承担相应的补充责任。虽然此条款直接提及的是教育机构，但私人校车作为提供校车服务的一方，若其工作人员（如司机、随车人员）在提供服务过程中对学生实施了侵权行为，那么该工作人员作为直接侵权人，应承担侵权责任。
- 同时，如果私人校车在管理上存在疏忽，例如未对工作人员进行必要的背景审查、未进行安全培训、未制定并执行严格的安全管理制度等，导致工作人员有机会实施侵权行为，那么私人校车可能因未尽到管理职责而承担相应的补充责任。
建议：
- 家长应立即报警，并收集相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以证明打人者的身份和侵权行为。
- 家长可以要求私人校车提供打人者的身份信息、工作记录等，以便进一步追究其法律责任。
- 如果私人校车拒绝承担责任或协商无果，家长可以向法院提起诉讼，要求打人者和私人校车承担相应的赔偿责任。
二、若打人者为非私人校车相关人员（如其他学生、社会人员）
法律责任分析：
- 在这种情况下，打人者作为直接侵权人，应承担侵权责任。
- 对于私人校车而言，其责任主要取决于是否尽到了管理职责。如果私人校车在等待校车期间，未能提供必要的安全保障措施，如未安排专人看管、未设置安全隔离设施等，导致学生受到侵害，那么私人校车可能因未尽到管理职责而承担相应的补充责任。
- 但如果私人校车已经尽到了合理的管理职责，例如安排了专人看管、设置了安全隔离设施等，且侵害行为是突然发生的、难以预防的，那么私人校车可能不承担责任。
建议：
- 家长同样应立即报警，并收集相关证据以证明打人者的身份和侵权行为。
- 家长可以要求学校或私人校车提供当时的监控录像、目击者证言等，以证明私人校车是否尽到了管理职责。
- 如果私人校车未尽到管理职责，家长可以要求其承担相应的补充责任；如果私人校车已经尽到了管理职责，家长则应主要向打人者追究法律责任。
三、特殊情况考虑
- 学生年龄与民事行为能力：如果被打学生是无民事行为能力人或限制民事行为能力人，那么其在法律上的保护力度会更大。私人校车在提供服务过程中，应更加注意对学生的安全保障。
- 校车服务合同条款：家长与私人校车之间可能签订了校车服务合同，合同中可能对双方的权利义务、责任承担等进行了约定。在发生侵权事件时，合同条款也是判断私人校车是否承担责任的重要依据。
总结：私人校车在放学后学生刚出校门在等待校车期间被打的事件中，是否有责任需根据具体情况判断。家长在处理此类事件时，应首先报警并收集证据，然后根据打人者的身份和私人校车的管理情况来追究相应的法律责任。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。