结论前置：公司要开除员工时，员工是否可以不履行合同并要求赔偿，这主要取决于公司开除的原因及是否符合相关法律法规的规定。若公司合法开除，员工通常不能要求赔偿且需履行合同至解除之日；若公司违法开除，员工则有权要求赔偿且可能无需继续履行合同。
一、合法开除的情况
试用期不符合录用条件：
- 若员工在试用期内被证明不符合录用条件，公司有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。此时，员工需接受这一结果，并履行合同至解除之日，无权要求赔偿。
严重违反规章制度：
- 如果公司的规章制度经过民主程序制定并公示，且员工的行为确实违反了这些制度中的严重违纪条款（如旷工达到一定天数、在工作场所打架斗殴等），公司有权解除劳动合同，同样无需支付经济补偿金。员工在此情况下也需接受解除合同的结果，并履行相关手续。
严重失职或营私舞弊：
- 员工因严重失职给公司造成重大损害，或营私舞弊导致公司利益受损的，公司可以解除劳动合同，并无需承担赔偿责任。员工需承担因自身行为导致的后果，并履行合同至解除之日。
被依法追究刑事责任：
- 如果员工被依法追究刑事责任，公司可以立即解除劳动合同，且无需支付任何补偿。员工在此情况下需接受法律的制裁，并履行合同至解除之日（若合同尚未到期）。
其他法定情形：
- 如员工同时与其他用人单位建立劳动关系且对完成本单位工作任务造成严重影响，或经公司提出拒不改正；以及以欺诈、胁迫手段或乘人之危使公司在违背真实意思的情况下订立劳动合同等情形，公司均有权解除劳动合同而无需赔偿。员工需接受这些法定情形的后果，并履行相关手续。
二、违法开除的情况
无合法理由解除合同：
- 如果公司没有合法的理由就单方面解除劳动合同，属于违法解除。根据《劳动合同法》规定，公司应支付赔偿金，标准为经济补偿标准的二倍。此时，员工有权要求公司支付赔偿金，并可能无需继续履行合同（具体需根据实际情况和法院判决确定）。
未提前通知解除合同：
- 若公司依据特定情形（如劳动者患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作）解除劳动合同，但未提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资，则可能构成违法解除，需承担赔偿责任。员工在此情况下有权要求公司支付相应的赔偿。
经济性裁员违规：
- 公司进行经济性裁员时，若未按照法律规定履行相应程序（如提前向工会或全体职工说明情况、听取意见、将裁减人员方案报送劳动行政部门等），则裁员行为可能被认定为违法，需对员工进行赔偿。员工在此情况下也有权要求公司支付赔偿金。
三、经济补偿金的计算与支付
- 计算标准：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资定义：月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍，则按三倍数额及十二年上限计算。
四、特殊情形的处理
- 协商一致解除合同：公司与员工协商一致解除劳动合同的，公司应根据协商结果支付相应的经济补偿金。此时，员工需接受协商结果，并履行相关手续。
- 合同到期不续签：除公司维持或提高合同约定条件续订劳动合同而员工不同意续订的情形外，公司应支付经济补偿金。员工在此情况下需根据实际情况决定是否接受经济补偿金并履行相关手续。
建议：若您面临公司开除的情况，请务必先了解公司开除的具体原因及是否符合相关法律法规的规定。若您认为公司开除行为违法或不合理，可以与公司进行协商或向劳动仲裁机构申请仲裁以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。