结论：活鸡卖出一个月后能否追究死亡赔偿，需根据具体情况判断，主要涉及产品质量责任、举证责任以及诉讼时效等多个方面。以下从不同角度进行分析：

一、产品质量责任角度

1. 产品质量责任的基本原则：

   • 根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，产品存在缺陷造成他人损害的，被侵权人有权请求生产者或销售者承担侵权责任。这里的“产品”包括经过加工、制作，用于销售的产品，活鸡作为销售对象，同样适用。

2. 活鸡死亡与产品质量的关系：

   • 若活鸡在卖出后一个月内死亡，且死亡原因与产品质量（如疾病、饲养不当导致的健康问题等）直接相关，那么购买者有权要求销售者承担赔偿责任。
   • 但需注意，若活鸡死亡是由于购买者饲养不当、环境不适或其他非产品质量原因造成的，则销售者不承担赔偿责任。

二、举证责任角度

1. 购买者的举证责任：

   • 购买者需证明活鸡的死亡与产品质量存在因果关系，即提供证据证明活鸡在购买时已存在健康问题或疾病，或销售者未提供必要的饲养指导等。
   • 若购买者无法提供充分证据证明活鸡死亡与产品质量有关，则可能面临败诉风险。

2. 销售者的抗辩权利：

   • 销售者有权提出抗辩，如提供活鸡出售时的健康检查报告、饲养指南等，以证明活鸡在出售时是健康的，且已提供了必要的饲养指导。

三、诉讼时效角度

1. 诉讼时效的基本规定：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。

2. 活鸡死亡赔偿的诉讼时效：

   • 若购买者在活鸡死亡后一个月内发现质量问题并准备追究赔偿，那么诉讼时效通常从购买者知道或应当知道权利受到损害之日起计算。
   • 但需注意，若购买者在活鸡死亡后长时间未采取行动，可能因超过诉讼时效而丧失胜诉权。

四、具体建议

1. 及时取证：

   • 购买者在发现活鸡死亡后，应立即保存相关证据，如活鸡的尸体、购买凭证、饲养记录等，以便在追究赔偿时提供有力支持。

2. 协商解决：

   • 在证据充分的情况下，购买者可以尝试与销售者协商解决赔偿问题，以节省时间和成本。

3. 法律途径：

   • 若协商无果，购买者可以向人民法院提起诉讼，要求销售者承担赔偿责任。在诉讼过程中，购买者需充分举证，以证明活鸡死亡与产品质量有关。

总结：活鸡卖出一个月后能否追究死亡赔偿，需根据具体情况判断。购买者需证明活鸡死亡与产品质量存在因果关系，并注意诉讼时效的限制。若购买者认为自身权益受到侵害，建议及时取证并咨询专业律师（即向我咨询），以便更好地维护自身权益。