针对您提出的“私刻医院入职公章怎么处理”的问题，这是一个涉及法律层面的严肃问题，我将为您详细解答。

首先，私刻公章，无论其用途如何，都是不被法律所允许的行为。具体到私刻医院入职公章，这一行为可能涉及伪造公司、企业、事业单位印章的违法行为，甚至可能构成犯罪。

一、行政处罚层面

根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第五十二条的规定，伪造、变造或者买卖国家机关、人民团体、企业、事业单位或者其他组织的公文、证件、证明文件、印章的，属于违反治安管理行为。对于此类行为，公安机关将给予行政处罚，具体为：处10日以上15日以下拘留，可以并处1000元以下罚款；情节较轻的，处5日以上10日以下拘留，可以并处500元以下罚款。

二、刑事责任层面

如果私刻公章的行为达到一定情节，即构成犯罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百八十条的规定，伪造公司、企业、事业单位、人民团体的印章的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。这意味着，一旦私刻公章的行为被认定为犯罪，行为人将面临更为严厉的刑事处罚。

三、具体建议

1. 立即停止行为：如果您或您身边的人有私刻医院入职公章的行为，应立即停止，并销毁已私刻的公章，以避免进一步的法律风险。

2. 主动投案自首：如果行为已经发生，且可能构成犯罪，建议主动向公安机关投案自首，如实供述自己的罪行，争取从轻或减轻处罚。

3. 配合调查处理：在公安机关调查过程中，应积极配合，提供必要的证据和信息，以便公安机关能够准确认定事实，依法处理。

4. 寻求法律帮助：如果您对法律程序或法律后果存在疑问，建议寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自己的合法权益。

总之，私刻医院入职公章是一种严重的违法行为，不仅可能面临行政处罚，还可能构成犯罪。因此，我强烈建议您或您身边的人不要尝试此类行为，并立即停止任何已发生的私刻公章行为。如果已经发生，应主动投案自首，并积极配合公安机关的调查处理。