结论先行：在冷静期内发现对方与他人同居，您可以采取收集证据、协商沟通、提起诉讼等措施来维护自己的合法权益。以下是对这一问题的详细分析：

一、冷静期的法律性质与意义

冷静期，通常指的是在离婚登记申请提出后的一段时间内，双方需要冷静思考，评估婚姻关系是否真的无法挽回，从而避免冲动离婚。在此期间，双方仍然保持婚姻关系，但离婚申请已经提出，只是尚未生效。因此，冷静期内双方仍然应当遵守婚姻忠诚义务，不得与他人同居。

二、发现对方与他人同居的处理方式

1. 收集证据

   • 证据类型：您需要收集能够证明对方与他人同居的证据，如照片、视频、聊天记录、证人证言等。这些证据应当真实、合法，且能够清晰地反映对方与他人同居的事实。
   • 证据收集方式：在收集证据时，您应当注意保护自己的合法权益，避免侵犯他人的隐私权。例如，不要非法侵入他人的住宅或私自安装监控设备等。

2. 协商沟通

   • 尝试沟通：在收集到一定证据后，您可以尝试与对方进行沟通，表达您的感受和诉求，看是否能够达成和解或协议离婚。
   • 沟通技巧：在沟通时，您应当保持冷静和理性，避免情绪化的表达。同时，您可以明确告知对方，其与他人同居的行为已经违反了婚姻忠诚义务，您将采取法律手段来维护自己的权益。

3. 提起诉讼

   • 诉讼理由：如果对方拒绝沟通或无法达成和解，您可以向法院提起离婚诉讼，并主张对方存在过错行为（如与他人同居），要求法院在判决离婚时给予您更多的财产分割、子女抚养等方面的照顾。
   • 法律依据：根据《民法典》的相关规定，夫妻一方要求离婚的，可以由有关组织进行调解或者直接向人民法院提起离婚诉讼。人民法院审理离婚案件，应当进行调解；如果感情确已破裂，调解无效的，应当准予离婚。同时，如果一方存在重婚或者与他人同居等过错行为，无过错方有权请求损害赔偿。

三、可能面临的法律后果与应对策略

1. 对方否认同居事实

   • 应对策略：如果对方否认与他人同居的事实，您需要提供充分的证据来证明。如果证据不足或无法证明，法院可能无法认定对方存在过错行为。因此，在收集证据时，您应当尽可能确保证据的充分性和真实性。

2. 对方主张感情破裂但无过错

   • 应对策略：如果对方主张感情破裂但否认存在过错行为，您需要结合其他证据来证明对方的行为已经对婚姻关系造成了严重损害。例如，您可以提供对方与他人同居的照片、视频等证据，以及双方之间的聊天记录、证人证言等，来证明对方的行为已经违反了婚姻忠诚义务。

3. 法院判决离婚及财产分割

   • 判决结果：如果法院认定双方感情确已破裂且调解无效，将判决离婚。在财产分割方面，如果一方存在过错行为（如与他人同居），法院可能会根据具体情况给予无过错方更多的财产分割照顾。
   • 应对策略：在诉讼过程中，您应当积极配合法院的调查和审理工作，提供充分的证据来支持自己的诉求。同时，您也可以咨询专业律师的意见，以便更好地维护自己的合法权益。

最后建议：面对冷静期内发现对方与他人同居的情况，您应当保持冷静和理性，采取合适的措施来维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。