结论：再审判决享有优先受偿权后，第三人能否提出行政诉讼撤销抵押登记，需视具体情况而定，主要取决于第三人是否具备行政诉讼的原告资格以及是否在法定期限内提起诉讼。以下从不同角度进行分析：
一、第三人是否具备行政诉讼原告资格
与抵押登记行为有利害关系：
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第二十五条第一款：“行政行为的相对人以及其他与行政行为有利害关系的公民、法人或者其他组织，有权提起诉讼。”因此，若第三人认为抵押登记行为侵犯了其合法权益，如抵押物本应属于其所有或存在其他权利冲突，则该第三人具备提起行政诉讼的原告资格。
具体案例分析：
- 假设第三人A认为抵押物本应属于其所有，但因抵押登记错误导致其无法行使权利。在此情况下，A与抵押登记行为存在直接利害关系，有权提起行政诉讼要求撤销抵押登记。
二、是否在法定期限内提起诉讼
起诉期限：
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十六条：“公民、法人或者其他组织直接向人民法院提起诉讼的，应当自知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内提出。法律另有规定的除外。”因此，第三人需在知道或应当知道抵押登记行为之日起六个月内提起行政诉讼。
特殊情况：
- 若第三人因不可抗力或其他正当理由耽误起诉期限的，可以在障碍消除后十日内申请延长期限，是否准许由人民法院决定。
三、再审判决享有优先受偿权对第三人提起行政诉讼的影响
再审判决的效力：
- 再审判决是对原判决的重新审查和裁决，其效力通常及于原判决的当事人。若再审判决确认了抵押权的优先受偿权，这并不直接剥夺第三人提起行政诉讼的权利，但可能影响第三人诉讼的实体结果。
第三人诉讼的独立性：
- 第三人提起行政诉讼是针对抵押登记行为的合法性进行审查，与再审判决确认的优先受偿权是两个独立的法律关系。因此，再审判决的存在并不构成第三人提起行政诉讼的障碍。
四、实际操作建议
收集证据：
- 第三人在提起行政诉讼前，应充分收集与抵押登记行为相关的证据，如产权证明、登记错误证明等，以证明其与抵押登记行为存在利害关系。
咨询专业律师：
- 由于行政诉讼涉及复杂的法律程序和实体问题，建议第三人在提起诉讼前咨询专业律师，以评估诉讼风险和制定诉讼策略。
注意起诉期限：
- 第三人应密切关注起诉期限，确保在法定期限内提起诉讼，避免因超过期限而丧失诉讼权利。
总结：再审判决享有优先受偿权后，第三人能否提出行政诉讼撤销抵押登记，需根据其是否具备原告资格、是否在法定期限内提起诉讼以及再审判决对其实体权利的影响等因素综合判断。若第三人认为抵押登记行为侵犯了其合法权益，且具备原告资格并在法定期限内提起诉讼，则有权要求人民法院对抵押登记行为的合法性进行审查。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。