结论：邻居挖沟损坏沟渠边树木的树根，是否合法需视具体情况而定，主要取决于其行为是否侵犯了您的合法权益，以及是否违反了相关法律法规。
一、从物权保护角度分析
若树木属于您所有：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，物权受到侵害的，权利人有权依法请求损害赔偿。若邻居挖沟的行为导致您所有的树木受损，您有权要求邻居停止侵害、恢复原状或赔偿损失。
- 邻居在未经您同意的情况下，擅自挖沟损坏树根，可能构成对您的物权侵害，您有权通过法律途径维护自己的权益。
若树木属于公共区域或他人所有：
- 若树木位于公共区域或属于他人所有，您可能无权直接要求邻居赔偿，但您可以向相关部门（如物业、城管等）反映情况，由相关部门进行调查处理。
- 若邻居的行为违反了公共管理规定或损害了公共利益，相关部门有权对其进行处罚或要求其恢复原状。
二、从相邻关系角度分析
- 根据《中华人民共和国民法典》中关于相邻关系的规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。
- 邻居在挖沟时，应当考虑到对周边环境的影响，包括对树木的保护。若邻居的行为给您造成了不便或损失，您有权要求其采取合理措施进行补救或赔偿。
- 若邻居的行为未违反相关规定，但确实给您带来了不便，您可以尝试与邻居协商解决，寻求双方都能接受的解决方案。
三、从行政处罚角度分析
- 若邻居挖沟的行为违反了城市规划、绿化管理等相关规定，相关部门有权对其进行行政处罚，包括罚款、责令恢复原状等。
- 您可以向相关部门举报邻居的违法行为，由相关部门进行调查处理。
四、建议与措施
- 收集证据：在采取任何行动之前，建议您先收集相关证据，如照片、视频、证人证言等，以证明邻居的行为确实给您造成了损失或不便。
- 与邻居协商：在证据充分的情况下，您可以尝试与邻居进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。
- 寻求法律援助：若协商无果，您可以咨询专业律师（即向我咨询），了解自己的权益和可能的维权途径。
- 向相关部门反映：若邻居的行为违反了相关规定，您可以向相关部门（如物业、城管、规划等）反映情况，由相关部门进行调查处理。
后续思考依据：在处理此类纠纷时，关键在于明确树木的所有权、邻居行为的合法性以及是否违反了相关规定。因此，在采取行动之前，建议您先了解清楚相关情况，并咨询专业律师以获取更准确的法律建议。若您有任何法律问题，可以直接向我咨询，我将竭诚为您提供专业的法律服务。