结论前置：

1. 若借款期限届满后，借款人持续支付利息，且双方未就还款期限达成新的约定，则诉讼时效可能因持续履行行为而中断并重新计算。
2. 但需注意，若双方明确约定了新的还款期限，或借款人停止支付利息，则诉讼时效将从新的还款期限届满或停止支付利息之日起计算。

法律背景与解释：

在民间借贷中，当借款期限届满后，若借款人一直支付利息而未偿还本金，这涉及到诉讼时效的问题。诉讼时效是指权利人在法定期间内不行使权利，即丧失请求法院依法保护其民事权利的权利。对于民间借贷纠纷，通常适用的是三年的普通诉讼时效期间，自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。

一、持续支付利息对诉讼时效的影响：

1. 诉讼时效中断：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，权利人向义务人提出履行请求、义务人同意履行义务、权利人提起诉讼或者申请仲裁等情形，均可导致诉讼时效中断。在借款期限届满后，若借款人持续支付利息，这可以被视为义务人（借款人）在持续履行部分义务，从而构成诉讼时效中断的情形。中断后，诉讼时效期间重新计算。

2. 未约定新还款期限的情况：若双方在借款期限届满后，未就还款期限达成新的约定，且借款人持续支付利息，则诉讼时效可能因持续履行行为而不断中断并重新计算。这种情况下，债权人（出借人）在每次利息支付后，都获得了新的诉讼时效期间。

二、明确约定新还款期限或停止支付利息的情况：

1. 明确约定新还款期限：若双方在借款期限届满后，明确约定了新的还款期限，则诉讼时效将从新的还款期限届满之日起计算。此时，债权人需在新的诉讼时效期间内行使权利。

2. 停止支付利息：若借款人停止支付利息，这可能被视为拒绝履行义务的表现。此时，诉讼时效将从停止支付利息之日起计算。债权人需及时行使权利，以免丧失诉讼时效保护。

法律建议：

• 保留证据：债权人应妥善保留与借款相关的所有证据，包括借款合同、利息支付记录等，以备不时之需。
• 及时行使权利：在借款期限届满后，若借款人持续支付利息但未偿还本金，债权人应密切关注诉讼时效问题，并在必要时及时行使权利。
• 协商与诉讼：若双方无法就还款问题达成一致，债权人可以考虑通过协商、调解或诉讼等方式解决纠纷。在诉讼过程中，应确保自己的诉讼请求在诉讼时效期间内提出。

可能的法律后果：

• 若债权人未在诉讼时效期间内行使权利，则可能丧失请求法院依法保护其民事权利的权利，即无法通过法律途径追讨借款。
• 若债权人及时行使权利，并在诉讼过程中提供充分证据支持其诉讼请求，则有可能获得法院的支持，追回借款及相应利息。