结论：房屋断供后，即使房屋被银行拍卖抵债，若拍卖所得仍不足以清偿全部债务，银行确实有权利继续追讨剩余的欠款。
法律背景与解释：
抵押权的实现：在房屋抵押贷款中，房屋作为抵押物，为贷款提供了担保。当借款人（即房屋所有者）无法按时偿还贷款时，银行作为抵押权人，有权依法实现其抵押权，这通常包括通过拍卖或变卖抵押物（即房屋）来优先受偿。
不足清偿的处理：如果拍卖房屋所得的价款不足以清偿全部贷款本息及相关费用，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，银行作为债权人，仍有权就剩余未清偿的部分向借款人继续追偿。这是因为抵押权的实现并不免除借款人原本应承担的债务责任，只是提供了一种优先受偿的机制。
追偿方式：银行在追讨剩余欠款时，可能会采取多种方式，包括但不限于与借款人协商制定还款计划、通过法律途径提起诉讼要求借款人偿还剩余债务，并在获得法院判决后申请强制执行等。
法律建议：
积极沟通：面对这种情况，借款人应积极与银行沟通，说明自己的经济状况和还款意愿，尝试协商制定一个可行的还款计划，以减轻还款压力并避免更严重的法律后果。
了解法律程序：借款人应了解银行追讨剩余欠款的法律程序，包括可能的诉讼和执行程序，以便做好应对准备。
寻求法律帮助：如果借款人认为银行的追讨行为存在不当之处，或者自己无法独自应对复杂的法律问题，可以寻求专业律师的帮助，以维护自己的合法权益。
可能的法律后果：
信用受损：借款人未能按时偿还贷款，将导致其信用记录受损，影响未来申请贷款、信用卡等金融服务的能力。
法律诉讼：如果借款人拒绝偿还剩余欠款，银行可能会通过法律途径提起诉讼，要求借款人偿还债务。一旦法院判决借款人败诉，借款人将需要承担还款责任，并可能面临强制执行等法律后果。
资产被查封或拍卖：在强制执行过程中，法院有权查封、冻结或拍卖借款人的其他资产，以偿还剩余债务。
因此，面对房屋断供后房屋被拍卖仍不足以清偿全部债务的情况，借款人应积极应对，与银行沟通协商，并了解相关法律程序和后果，以便做出合理的决策。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。