结论：调走的教师能否享受原单位工会福利，需结合具体情况判断，主要取决于工会章程规定、调动手续性质及双方单位协商结果。以下分情况说明：

1. 若调动手续为“系统内调动”（如教育系统内跨校调动）

根据《工会法》及多数单位工会章程，会员组织关系通常随人事关系转移。若原单位工会章程未明确规定“调出即终止福利”，且新单位工会未及时接收会员关系，原单位可能仍需承担阶段性福利责任（如节日慰问品、体检等）。但实践中，系统内调动后，工会关系一般会同步转移至新单位，福利由新单位提供。

2. 若调动手续为“跨系统调动”（如从学校调至非教育单位）

此时工会关系需办理转出手续。根据《中国工会章程》第十一条，会员调出原单位时，工会组织应按规定转移会员关系。若会员未及时办理转出或新单位未接收，原单位可能暂停福利发放，直至会员关系明确。但若原单位工会章程或地方性规定明确“调出后仍享受一定期限福利”（如1年内），则需按约定执行。

3. 关键依据：工会章程与地方规定

• 工会章程：各单位工会可自行制定章程，明确会员权利义务。若章程规定“调出即终止福利”，则原单位无需承担；若未规定，可能需协商解决。
  
• 地方性政策：部分地区教育系统或工会联合会有特殊规定（如“调出教师可保留原工会会员身份1年”），需以当地政策为准。

4. 实践建议

• 调出教师：主动与原单位工会沟通，确认会员关系是否转移、福利是否终止；若未转移，可要求原单位按章程履行义务。
  
• 原单位：若章程无明确规定，建议通过民主程序（如会员大会）修订章程，避免纠纷；若已调出教师仍享受福利，可要求其补交会费（若章程规定）。
  
• 争议解决：若双方对福利发放有争议，可向上一级工会或劳动仲裁部门申请调解。

总结：调走教师能否享受原单位工会福利，无统一答案，需以工会章程、调动手续性质及地方规定为依据。建议优先协商，协商不成可依法维权。如有具体案例或章程条款，可进一步提供细节，我将为您详细分析。