核心结论：续租无合同的情况下，房东仍有义务就收取的租金开具发票，租客有权要求房东开具。以下从不同角度进行分析：

1. 从发票开具的法定义务角度 根据我国税收相关法律法规，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。在房屋租赁关系中，房东收取租金属于经营活动范畴，无论是否有书面合同，只要发生了实际的租赁行为并收取了租金，房东就有开具发票的法定义务。所以，即使续租时没有签订书面合同，租客支付了租金，房东也应开具发票。

2. 从合同形式对发票开具的影响角度 书面合同并不是开具发票的必要前提条件。虽然签订书面合同可以明确双方的权利义务，包括租金金额、支付方式、发票开具等事项，但即使没有书面合同，只要双方存在事实上的租赁关系，房东收取租金的行为就受到法律约束，必须履行开具发票的义务。例如，在一些短期租赁或者口头约定的租赁场景中，虽然没有书面合同，但房东收取租金后依然要为租客开具发票。

3. 从租客维权角度 如果房东拒绝开具发票，租客可以采取以下措施维护自己的合法权益。首先，租客可以与房东进行协商，明确要求房东开具发票，并告知房东这是其法定义务。如果协商无果，租客可以向当地税务机关举报房东的违法行为。税务机关会根据相关规定对房东进行调查处理，并责令房东为租客开具发票。同时，租客在支付租金时，最好保留好相关的支付凭证，如转账记录、收据等，以便在维权时能够提供有力的证据。

在实际操作中，如果遇到房东以各种理由拒绝开具发票的情况，租客要坚决维护自己的合法权益。如果还有其他关于房屋租赁法律方面的问题，可以直接向我咨询。