结论：没有签解除劳动合同就和下一个用人单位签了劳动合同，并不直接等同于放弃原劳动合同的权利或义务，但可能引发一系列法律后果，具体取决于原劳动合同的状态及新劳动合同的履行情况。以下从不同角度进行分析：
一、原劳动合同未解除的法律后果
原劳动合同继续有效：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同的解除需要双方协商一致或符合法定解除条件。若未签订解除劳动合同的协议，且不存在法定解除情形，原劳动合同仍然有效。
- 这意味着，原用人单位仍有权要求劳动者履行原劳动合同中的义务，如提供劳动、遵守规章制度等。同时，劳动者也享有原劳动合同中的权利，如获得劳动报酬、享受社会保险等。
可能构成双重劳动关系：
- 若劳动者未与原用人单位解除劳动合同，又与新用人单位签订了劳动合同，且同时为两个用人单位提供劳动，则可能构成双重劳动关系。
- 双重劳动关系在法律上并非完全禁止，但可能引发一系列问题，如原用人单位可能要求劳动者承担违约责任、新用人单位可能因劳动者与原用人单位的劳动关系而面临法律风险等。
二、新劳动合同的签订与履行
新劳动合同的效力：
- 新劳动合同的签订并不因原劳动合同未解除而无效。只要新劳动合同符合法律规定的成立要件，即双方意思表示真实、内容合法、形式合规，则新劳动合同具有法律效力。
- 然而，若新用人单位在签订劳动合同时明知劳动者与原用人单位的劳动合同未解除，仍与其签订劳动合同，并因此给原用人单位造成损失的，新用人单位可能需要承担连带赔偿责任。
新劳动合同的履行风险：
- 劳动者在履行新劳动合同的同时，若未履行原劳动合同中的义务，可能面临原用人单位的追责。
- 同时，若新用人单位发现劳动者与原用人单位的劳动关系未解除，可能要求劳动者立即解除与原用人单位的劳动关系，否则可能解除与劳动者的新劳动合同。
三、法律建议
与原用人单位协商解除劳动合同：
- 在签订新劳动合同前，劳动者应与原用人单位协商解除劳动合同，并签订解除劳动合同的协议。这样既能避免双重劳动关系的法律风险，也能确保新劳动合同的顺利履行。
谨慎签订新劳动合同：
- 在签订新劳动合同时，劳动者应如实告知新用人单位自己与原用人单位的劳动关系状态。若新用人单位对此表示介意或要求劳动者立即解除与原用人单位的劳动关系，劳动者应谨慎考虑是否签订新劳动合同。
寻求法律帮助：
- 若劳动者在处理此类问题时遇到法律难题或纠纷，应及时寻求专业律师的法律帮助。律师可以根据劳动者的具体情况提供针对性的法律建议和解决方案。
总结来说，没有签解除劳动合同就和下一个用人单位签了劳动合同，并不直接等同于放弃原劳动合同的权利或义务。但为了避免法律风险和纠纷，劳动者在签订新劳动合同前应与原用人单位协商解除劳动合同，并谨慎签订新劳动合同。如有任何法律问题或疑虑，可直接向我咨询。