针对居民家中堆积垃圾的问题，具有执法权的主体主要是城市管理部门或相关环境卫生管理部门，具体执法权可能因地区而异。以下是从不同角度进行的详细分析：

1. 城市管理部门：

   • 在许多城市，城市管理部门（如城管局）负责城市环境的整体管理和维护，包括处理居民区内的环境卫生问题。当居民家中堆积垃圾，影响公共环境卫生时，城市管理部门有权进行干预，要求居民清理垃圾，甚至在必要时采取强制措施。

2. 环境卫生管理部门：

   • 有些地区设有专门的环境卫生管理部门，负责城市环境卫生的具体工作。这些部门通常有权对居民区内的环境卫生进行监督和管理，包括处理垃圾堆积问题。他们可以要求居民清理垃圾，并对拒不执行者进行处罚。

3. 物业管理公司（在有物业管理的居民区）：

   • 在有物业管理公司的居民区，物业管理公司通常负责居民区的日常管理和维护，包括环境卫生。如果居民家中堆积垃圾，影响整个居民区的环境卫生，物业管理公司有权要求居民清理垃圾。如果居民拒不执行，物业管理公司可以向相关部门报告，由相关部门进行干预。

4. 相关法律法规的依据：

   • 根据《城市市容和环境卫生管理条例》等相关法律法规，居民有义务保持居住环境的整洁卫生，不得随意堆放垃圾。如果居民违反规定，相关部门有权进行处罚，并要求居民清理垃圾。

法律建议：

• 如果您发现居民家中堆积垃圾，影响公共环境卫生，可以先尝试与居民沟通，要求其清理垃圾。
• 如果沟通无果，您可以向城市管理部门、环境卫生管理部门或物业管理公司报告，由他们进行干预和处理。
• 在处理过程中，请确保遵守相关法律法规，不要采取过激行为或侵犯他人合法权益。

可能的法律后果：

• 如果居民拒不清理垃圾，相关部门有权对其进行处罚，包括罚款、责令整改等。
• 如果居民的行为严重影响了公共环境卫生，甚至可能构成违法，需要承担相应的法律责任。