结论前置：
- 若公司依据合法有效的规章制度，且处理程序合规开除打人者，通常无需支付赔偿。
- 若公司规章制度不合法、处理程序不合规，或打架行为有特殊情形，公司可能需要支付赔偿。
详细分析：
一、公司规章制度的合法性
- 规章制度内容：公司规章制度需明确打架属于严重违纪行为，且该规定需合理、不违背法律法规。若规章制度中有此规定，且打人者确实存在打架行为，公司依据此规定开除打人者通常是合法的。
- 规章制度制定与公示：规章制度的制定必须经过民主程序，如职工代表大会或全体职工讨论等，且需向员工有效公示，如通过内部公告、员工手册等方式。若规章制度的制定程序存在瑕疵或未向员工公示，公司开除打人者的行为可能构成违法解除劳动合同，此时公司可能需要支付赔偿。
二、处理过程的合规性
- 法定程序：公司在解除劳动合同前，应履行法定的通知和听取意见程序。特别是当公司有工会时，需通知工会并听取其意见。若公司未履行这些程序，开除打人者的行为可能构成违法解除劳动合同。
- 赔偿金计算：若公司违法解除劳动合同，打人者有权要求支付赔偿金。赔偿金的标准通常按照打人者在公司的工作年限来计算，具体为每满一年支付两个月工资（也有说法为经济补偿标准的二倍，即每满一年支付一个月工资的两倍，具体以当地规定为准）。
三、打架行为的具体情节
- 严重程度：打架行为的严重程度是判断公司开除行为是否合法的重要因素。轻微的肢体冲突可能不足以构成严重违纪，而严重的打架行为，特别是造成严重后果的，如造成他人重伤或死亡等，更可能被视为严重违纪，公司依据此开除打人者通常是合法的。
- 特殊情形：如果打架行为是因正当防卫等特殊原因引发的，公司在处理时应更加谨慎。在这种情况下，直接开除打人者可能构成违法解除劳动合同，公司可能需要支付赔偿。
四、其他相关因素
- 刑事犯罪标准：若打架行为情节严重，触犯刑法，构成犯罪，如故意伤害罪等，公司依据《劳动合同法》的相关规定开除打人者，通常是合法的，无需支付赔偿。
- 劳动仲裁与诉讼：如果打人者对公司的开除决定存在异议，他们可以通过申请劳动仲裁或提起诉讼等方式来维护自己的合法权益。在劳动仲裁或诉讼过程中，仲裁机构或法院会综合考虑上述因素，判断公司开除行为是否合法，并据此作出裁决。
建议与行动：
- 若您作为打人者被公司开除，且认为公司开除行为不合法，您可以先与公司协商，要求公司支付赔偿金。
- 若协商无果，您可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求裁决公司支付赔偿金。
- 若对劳动仲裁结果不满，您还可以向法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
在处理此类问题时，建议您保留好相关证据，如公司规章制度、开除通知、工资单等，以便在劳动仲裁或诉讼过程中证明自己的主张。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。