在庭审中提出新的主张但未正式申请增加诉讼请求，一般不算作严格意义上的增加诉讼请求。以下从不同角度对此问题进行详细分析：
一、增加诉讼请求的正式程序
在民事诉讼中，增加诉讼请求通常需要遵循一定的程序。根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，原告在诉讼过程中若需要增加或变更诉讼请求，应当在法庭辩论结束前提出，并可能需要经过法院的审查和批准。这一程序旨在确保诉讼的公正性和效率，避免因诉讼请求的随意变更而给对方造成不必要的困扰或损害诉讼程序的稳定性。
二、庭审中提出新主张的性质
若新主张构成对原诉讼请求的实质性变更或增加：
- 这种情况下，即使未在正式文书中明确申请增加诉讼请求，但实质上已经改变了原诉讼的请求范围。从严格意义上讲，这应当被视为增加诉讼请求的行为，需要遵循增加诉讼请求的正式程序。然而，若未正式申请，法院可能不会直接将其视为增加诉讼请求，而是可能要求原告明确其请求或进行相应的程序补正。
若新主张仅是对原诉讼请求的补充或说明：
- 这种情况下，新主张可能并不构成对原诉讼请求的实质性变更或增加，而是对原有请求的进一步阐述或细化。此时，即使未正式申请增加诉讼请求，法院也可能将其视为原诉讼请求的一部分进行审理。
三、法律后果与建议
法律后果：
- 若未正式申请增加诉讼请求而提出新的主张，且该主张构成对原诉讼请求的实质性变更或增加，法院可能不会直接审理该新主张，或者会要求原告进行相应的程序补正。这可能导致诉讼进程的延误或原告权益的受损。
建议：
- 在庭审过程中，若原告需要提出新的主张且该主张构成对原诉讼请求的实质性变更或增加，应当及时向法院提出正式申请增加诉讼请求，并遵循相应的程序要求。
- 若对是否构成增加诉讼请求存在疑问，可以咨询专业律师以获取准确的法律意见和指导。
四、实际操作中的注意事项
- 及时沟通：在庭审过程中，若原告有新的主张需要提出，应及时与法院和对方进行沟通，明确其性质和影响。
- 准备充分：在提出新的主张前，原告应准备充分的证据和法律依据，以支持其主张的合理性和合法性。
- 遵循程序：无论新的主张是否构成增加诉讼请求，原告都应遵循诉讼程序的要求，确保诉讼的顺利进行。
有问题可以直接向我咨询，我会结合你的具体情况给出更详细的法律建议。