针对您提出的问题，即姐姐代理被告妹妹出庭应诉是否需要提供关系证明，且两人不在一个户口本上的情况，以下是我的详细解答：
首先，我们需要明确的是，在代理他人出庭应诉的情境中，通常需要证明代理人与被代理人之间存在合法的代理关系。这种关系在法律上往往要求有一定的证明文件来支撑，以确保代理行为的合法性和有效性。
对于您提到的姐姐和妹妹不在一个户口本上的情况，这并不意味着无法证明她们之间的亲属关系。在实际操作中，除了户口本之外，还有其他多种方式可以证明亲属关系，例如：
出生医学证明：如果妹妹有出生医学证明，且该证明上明确记载了父母信息，同时父母信息又能与姐姐的信息相关联（比如通过父母的其他子女或婚姻证明等），那么在一定程度上可以间接证明姐姐和妹妹的亲属关系。但这种方法可能较为间接，且需要额外的证据链来支撑。
亲属关系公证：您可以考虑前往公证处办理亲属关系公证。根据公证处的要求，您需要准备姐姐和妹妹的有效身份证件（如身份证、护照等），以及可能的其他证明材料（如父母的信息、婚姻证明等，尽管这些材料可能不是直接证明姐姐和妹妹关系的，但有助于构建完整的亲属关系链）。公证处会根据您提供的材料进行核实，并出具亲属关系公证书，这是证明亲属关系的一种非常有效且被法律广泛认可的方式。
其他官方证明文件：如果姐姐和妹妹之间有其他官方记录的证明文件，比如家族谱系图、政府或机构出具的亲属关系证明等，这些也可以作为证明亲属关系的依据。
书面承诺与告知承诺制度：虽然您提供的参考信息中提到了云南省推行的部分户籍业务证明事项告知承诺制度，但这主要适用于户籍业务中的亲属关系证明。在代理出庭应诉的情境中，这种制度可能并不直接适用。然而，如果当地法院或相关机构有类似的告知承诺制度，且允许以书面承诺代替亲属关系证明，那么您也可以考虑这种方式。但需要注意的是，这种方式可能存在一定的法律风险，因为书面承诺需要承担相应的法律责任。
综合建议：
优先办理亲属关系公证：这是最为稳妥且被法律广泛认可的方式。您可以前往当地的公证处咨询并办理相关手续。
准备其他辅助证明材料：在办理公证的同时，或者如果无法立即办理公证，您可以准备其他能够间接证明姐姐和妹妹亲属关系的材料，如父母的信息、婚姻证明、家族谱系图等。
咨询当地法院或律师：不同地区的法院或律师可能对代理出庭应诉的证明材料有不同的要求。因此，在准备材料之前，最好先咨询当地法院或律师的意见。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。