子女有权追究母亲生前的财产，但具体权利和方式需根据母亲是否留下有效遗嘱以及财产的性质来判定。以下从不同角度进行分析：
一、母亲留下有效遗嘱的情况
遗嘱继承优先：
- 如果母亲在生前立下了合法有效的遗嘱，明确指定了财产的继承人，那么子女作为法定继承人之一，其继承权将受到遗嘱的限制。
- 在这种情况下，子女只能按照遗嘱的内容来继承财产，如果遗嘱中没有将财产分配给子女，子女则无权直接要求继承。但子女有权知晓遗嘱内容，并在认为遗嘱存在瑕疵（如遗嘱人立遗嘱时无民事行为能力、受胁迫或欺骗等）时，通过法律途径维护自己的权益。
遗嘱的合法性审查：
- 子女有权对遗嘱的合法性进行审查。如果发现遗嘱存在违反法律强制性规定或公序良俗的情况，或者遗嘱的订立过程存在瑕疵，子女可以提出异议，并请求法院确认遗嘱无效或部分无效。
二、母亲未留下有效遗嘱的情况
法定继承：
- 如果母亲没有留下遗嘱，那么其财产将按照法定继承的顺序进行分配。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，子女作为第一顺序继承人，有权继承母亲的财产。在继承开始后，子女可以与其他第一顺序继承人（如配偶、父母）共同协商分配财产，如果协商不成，可以向人民法院提起诉讼，请求法院进行判决。
继承权的丧失与保护：
- 在某些情况下，子女可能会因为特定行为（如故意杀害被继承人、为争夺遗产而杀害其他继承人等）而丧失继承权。
- 但如果子女认为自己的继承权受到了侵害，例如被其他继承人隐瞒、转移或侵吞财产，子女有权向法院提起诉讼，要求保护自己的继承权。
三、实际操作中的注意事项
证据收集：
- 无论是追究遗嘱的合法性还是主张法定继承权，子女都需要收集充分的证据来支持自己的主张。例如，遗嘱的原件、订立遗嘱时的见证人证言、财产权属证明等。
法律程序：
- 在追究母亲生前的财产时，子女需要遵循法律程序。例如，在提起诉讼前，可能需要先进行调解或协商；在诉讼过程中，需要遵守法庭规则，按时提交证据和参加庭审等。
专业咨询：
- 由于涉及法律程序和证据收集等复杂问题，子女在追究母亲生前的财产时，建议咨询专业律师的意见。律师可以提供法律指导，帮助子女制定合理的维权策略，并代表子女参与法律程序。
举例说明：假设母亲去世后留下了一套房产和部分存款，但没有留下遗嘱。此时，子女作为第一顺序继承人，有权与其他继承人共同协商分配这些财产。如果协商不成，子女可以向法院提起诉讼，请求法院按照法定继承的顺序和份额进行判决。在诉讼过程中，子女需要收集房产证、存款证明等证据来支持自己的主张。