劳动仲裁期间公司解除劳动关系的合法性需根据具体情况判断，并不必然违法。以下是对此问题的全面分析：
一、合法解除的情形
协商一致解除：
- 如果公司与劳动者就解除劳动关系达成一致意见，并签订了相关协议，这种解除是合法有效的。例如，双方经过友好协商，认为继续履行劳动合同已无必要，遂决定解除劳动关系，并就经济补偿等事宜达成一致。
因劳动者过错解除：
- 若劳动者存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊等过错行为，且公司有充分证据证明，并按照法定程序（如通知工会）解除劳动关系，通常会被认定为合法。比如，劳动者因私自泄露公司商业秘密给公司造成重大损失，公司依据规章制度解除与其的劳动关系。
因客观情况发生重大变化解除：
- 当出现不可抗力或企业迁移、被兼并等客观情况导致劳动合同无法履行，且经与劳动者协商未能就变更劳动合同内容达成协议时，公司提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同。例如，公司因经营不善需要搬迁至其他城市，而劳动者不愿随迁，双方无法就变更劳动合同达成一致，公司可以依法解除劳动关系。
二、不合法解除的情形与风险
缺乏事实依据：
- 如果公司声称劳动者存在过错但没有足够证据支持，这种解除劳动关系的行为在仲裁中很可能被认定为违法。比如，公司仅凭口头指责劳动者工作态度不佳就解除与其的劳动关系，而无任何书面证据或证人证言。
- 风险：公司需承担违法解除劳动合同的法律责任，包括继续履行合同或支付赔偿金。赔偿金通常按照劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
违反法定程序：
- 即使解除劳动关系有合理理由，如果公司未履行法定程序（如通知工会），也可能被认定为违法解除。例如，公司未事先将解除理由通知工会就擅自解除了与劳动者的劳动关系。
- 风险：同上，公司需承担法律责任，即可能面临支付赔偿金或继续履行合同的后果。
违反特殊保护规定：
- 在女职工孕期、产期、哺乳期或劳动者患病、非因工负伤且在医疗期内等特殊情况下，除非劳动者存在严重过错，否则公司解除劳动关系一般会被认定为违法。比如，女职工在孕期被公司以“工作表现不佳”为由解除劳动关系，而公司并无充分证据证明女职工存在严重过错。
- 法律依据：《劳动合同法》对特殊人群有特别保护规定，旨在保障这些弱势群体的合法权益。
仲裁期间的特殊考虑：
- 虽然《劳动合同法》并未直接规定仲裁期间解除劳动合同的违法性，但《劳动争议调解仲裁法》明确规定了劳动争议仲裁的适用范围包括解除劳动合同的争议。实践中，如果公司在仲裁期间未经法定程序单方面解除劳动合同，可能加剧双方矛盾，且可能构成对劳动者权益的侵害，从而被视为不当行为。例如，公司在仲裁过程中突然解除与劳动者的劳动关系，导致劳动者面临失业和维权双重压力。
三、建议与总结
- 公司应确保解除行为符合法律规定的事实依据和程序要求，避免违法解除带来的法律风险。在解除劳动关系前，公司应充分收集证据，确保解除理由充分且合法；同时，应按照法定程序进行操作，如通知工会、与劳动者进行协商等。
- 劳动者在面对此类情况时，也应了解自己的权益和法律途径，依法维护自身合法权益。如果劳动者认为公司解除劳动关系的行为违法，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司承担违法解除的法律责任。
综上所述，劳动仲裁期间公司提出解除劳动关系的合法性需根据具体情况判断。公司应谨慎行事，确保解除行为合法合规；劳动者也应积极维权，保护自己的合法权益。如果您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。