当员工因做的产品出现质量问题而被开除时，是否可以申请赔偿，需根据具体情况来判断。以下是从不同角度进行的分析：
劳动合同与规章制度的角度：
- 首先，要查看劳动合同中是否明确规定了因产品质量问题导致开除的条款，以及这些条款是否合法合规。同时，也要审查公司的规章制度，看其中是否有关于员工因产品质量问题应承担的责任及开除的相关规定。
- 如果劳动合同或规章制度中明确规定了因产品质量问题可以开除员工，并且这些规定不违反法律法规的强制性规定，那么公司开除员工的行为可能是合法的。但即便如此，员工仍有权要求公司按照劳动合同或规章制度中的规定支付相应的经济补偿（如果有的话）。
- 如果劳动合同或规章制度中没有相关规定，或者规定违反了法律法规的强制性规定，那么公司开除员工的行为可能构成违法解除劳动合同，员工有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。
产品质量问题的性质与程度：
- 产品质量问题的性质和程度也是判断是否可以申请赔偿的重要因素。如果产品质量问题是由于员工的故意或重大过失造成的，且给公司带来了重大损失，那么公司开除员工的行为可能更具合理性。但即便如此，员工仍应有权要求公司就其合法权益进行保障，如支付未结工资、经济补偿等。
- 如果产品质量问题并非由员工的故意或重大过失造成，或者虽然有一定过失但并未给公司带来重大损失，那么公司开除员工的行为可能缺乏合理性，员工有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。
法律法规的角度：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当符合法定条件，并遵循法定程序。如果公司开除员工的行为不符合法定条件或未遵循法定程序，那么员工有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。
- 赔偿金的标准通常按照员工在公司的工作年限和月工资来计算。具体来说，赔偿金为经济补偿标准的二倍，而经济补偿则按员工在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
建议：
- 如果你认为公司开除你的行为不合法或不合理，你可以先与公司进行协商，要求公司支付相应的经济补偿或赔偿金。
- 如果协商无果，你可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司承担违法解除劳动合同的法律责任。
- 在整个过程中，建议你保留好相关证据，如劳动合同、工资单、开除通知等，以便在需要时提供证明。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，因此以上分析仅供参考。如果你面临类似的问题，建议直接向我咨询，以便获得更具体、更专业的法律建议。